Definisi dan Teorema Order dari Suatu Anggota Grup

Posted by Fredi Batauga 30/10/2016 0 komentar
Definisi: Misalkan (G,*) grup dan $a \in G$. Order dari a, ditulis $o(a)$, adalah bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga $a^n=e$. Jika tidak ada bilangan n yang demikian maka dikatakan order a adalah nol atau tak hingga. 

Teorema: Misalkan (G,*) grup dan $a \in G$ dengan $o(a)=n$.
1) Jika $a^m=e untuk suatu bilangan bulat positif m, maka n membagi m
2) Untuk setiap bilangan bulat positif t, berlaku $o(a^t)=n/FPB(t,n)$
Bukti 1): Karena n bilangan asli terkecil demikian sehingga $a^n=e$, maka n harus lebih kecil atau sama dengan m. Andaikan n tidak membagi m, maka menurut algoritma pembagian m=np+q dimana 0 < q < n.
Pandang!
$a^m=e$
$a^(np+q)=e$
$a^(np) a^q=e$
Jadi diperoleh $a^q$ juga sama dengan e dimana  0 < q < n. Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa n adalah yang terkecil sedemikian hingga $a^n=e$. Jadi, pengandaian salah yang benar adalah n membagi m.

Bukti 2): Misalkan KPK dari t dan n adalah m. Hal ini berarti bahwa t membagi m dan n membagi m. Akibatnya, $a^m=e$. Jadi, orde dari $a^t$ adalah p dimana t.p=m. Andaikan diketahui bahwa FPB dari t dan m adalah q. Maka, menurut suatu teorema dalam teori bilangan m=(t.n)/q. Dengan demikian orde dari $a^t$ adalah:
p=m/t
p={(t.n)/q}/t
p=n/q.
Karena q adalah FPB dari t dan n maka terbukti.

Baca Selengkapnya...

Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers

Posted by Fredi Batauga 21/10/2016 0 komentar
Suatu hal yang sangat penting untuk diketahui bahwa unsur identitas dalam Grup adalah tunggal. Hal ini mengakibatkan bahwa unsur invers dalam Grup juga tunggal.

Apa yang terjadi ketika unsur identitas itu tidak tunggal? Maka, suatu unsur akan memiliki lebih dari satu invers tergantung banyaknya unsur identitas. Kalau suatu unsur memiliki lebih dari satu invers maka setiap unsur itu di dalam G harus dituliskan sebanyak unsur inversnya dalam himpunan G tersebut. Hal ini bertentangan dengan konsep menuliskan keanggotaan himpunan sebab {a, a, b, b}={a, b}. Akibatnya, sulit membayangkan ketidakkonsistenan hal ini akan terjadi dalam matematika. Padahal, matematika dibangun atas dasar konsistensinya. Namun, hal ini tidak akan pernah terjadi karena kalau suatu himpunan G dengan operasi * adalah Grup maka Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers menyertainya sebagai sifat yang dimilikinya yang akan ditunjukkan di bawah ini dengan bukti kontradiksi yang lebih formal dari penjelasan barusan.

Di dalam kehidupan, pernahkah kita memikirkan bahwa setiap dari kita adalah tunggal? Hukum ketunggalan unsur identitas ini juga berlaku bagi diri kita sebagai individu manusia dalam himpunan manusia. Tidak ada satupun manusia yang sama persis walaupun mereka dilahirkan kembar atau dengan kata lain tidak ada satupun manusia yang memiliki identitas yang sama tetapi memiliki dua badan yang berbeda. Misalnya, identitas Ibnu Batauga dimiliki juga oleh Ahmad Batauga. Hal yang tidak bisa diterima oleh akal sehat karena jika identitas Ibnu Batauga dimiliki juga oleh Ahmad Batauga maka orang tua mereka juga sama yaitu sama-sama dilahirkan olehnya. Jika orang tua mereka itu sama maka sebenarnya Ibnu Batauga dan Ahmad Batauga adalah orang yang sama hanya nama panggilannya berbeda. Artinya tidak ada satu identitas tetapi dalam dua tubuh yang berbeda walaupun mereka terlahir kembar dari orang tua yang sama. Hal ini dibuktikan dengan penemuan ilmiah bahwa setiap orang memiliki pola garis pada jarinya itu unik. Jadi, setiap manusia memiliki identitasnya sendiri yang membedakan dengan orang lain.

Berikut ini diberikan bukti Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers secara formal.

¤) Unsur identitas itu tunggal

Bukti:
Andaikan tidak tunggal, maka suatu Grup memiliki unsur identitas lain (misalnya f) selain dari e. Akibatnya, e=e*f. Karena e=e*e maka diperoleh persamaan e*f=e*e. Dengan menggunakan hukum pencoretan kiri diperoleh f=e yang kontradiksi dengan pengandaian kita bahwa f tidak sama dengan e. (terbukti).

¤¤) Unsur invers itu juga tunggal sebagai akibat unsur identitas itu tunggal.

Bukti:
Andaikan untuk setiap a $\in G$ memiliki unsur invers lain (misalnya c) selain dari b. Maka, a*c=e. Karena a*b=e, diperoleh persamaan a*c=a*b. Dengan menggunakan hukum pencoretan kiri diperoleh c=b. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian kita bahwa c berlainan dengan b. (terbukti).

#CMIWW

Baca Selengkapnya...

Memahami Hukum Pencoretan

Posted by Fredi Batauga 19/10/2016 0 komentar
Hukum pencoretan merupakan hukum yang digunakan dalam melakukan penyederhanaan bentuk persamaan yang melibatkan operasi biner seperti operasi penjumlahan (+), perkalian (x), dsb. Contohnya sebagai berikut.

2x + 4= 6

Menerapkan hukum pencoretan untuk menyelesaikan persamaan tersebut, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.

2x + 4 = 6
2x + 4 = 2 + 4
2x = 2
2x = 2.1
x = 1

Perhatikan di atas, 6 dirubah menjadi 2 + 4 agar menjadi 2x + 4 = 2 + 4 sehingga hukum pencoretan kanan untuk operasi penjumlahan dapat dilakukan. Setelah dilakukan pencoretan maka bentuk persamaannya menjadi 2x=2. Agar hukum pencoretan kiri untuk operasi perkalian juga dapat digunakan, 2 dirubah menjadi 2.1 sehingga 2x=2 berubah menjadi 2x=2.1. Dengan menerapkan hukum pencoretan kiri diperoleh x=1.

Untuk lebih jelasnya, berikut ini diberikan definisnya.

Definisi:

1. Suatu himpunan A terhadap operasi * dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri jika a*b=a*c mengakibatkan b=c.

2. Suatu himpunan A dengan operasi * dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan jika b*a=c*a mengakibatkan b=c.

Catatan: Untuk himpunan A yang komutatif, jika memenuhi hukum pencoretan kiri, pasti memenuhi hukum pencoretan kanan karena a*b=b*a dan a*c=c*a sehingga jika a*b=a*c yang mengakibatkan b=c maka untuk b*a=c*a juga mengakibatkan b=c.

Hasil penting berikut ini adalah jaminan suatu himpunan memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan tanpa melihat apakah himpunan tersebut komutatif atau tidak.

"Jika A suatu grup maka A memenuhi hukum pencoretan kiri dan hukum pencoretan kanan"

Bukti:

Ambil sebarang a, b, c, f, g, dan h $\in A$. Jika a*b=a*c dan g*f=h*f akan diperlihatkan b=c dan g=h.

Karena A grup maka terdapat a' dan f' sedemikian hingga a'*a=a*a'=e dan f*f'=f'*f=e dimana e unsur identitas terhadap operasi *. Maka,

a*b=a*c
a'*(a*b)=a'(a*c)
(a'*a)*b=(a'*a)*c
e*b=e*c
b=c.

g*f=h*f
(g*f)*f'=(h*f)f'
g*(f*f')=h*(f*f')
g*e=h*e
g=h
(Terbukti)

Contoh-contoh:
¤ Himpunan bilangan asli dengan operasi perkalian memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan sekaligus karena pada himpunan tersebut dengan operasi perkalian berlaku sifat komutatif.

¤ Karena (Z, +) adalah grup maka berlaku hukum pencoretan kiri dan kanan.

Latihan: Coba perlihatkan apakah himpunan matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks memenuhi atau tidak memenuhi hukum pencoretan kiri dan hukum pencoretan kenan.

Baca Selengkapnya...

Cara Membuktikan Suatu Himpunan Beserta Operasinya adalah Grup

Posted by Fredi Batauga 30/09/2016 0 komentar
Suatu himpunan misalnya (himpunan G) dengan suatu operasi (misalnya operasi bintang (*) yang didefinisikan pada himpunan G) adalah Grup (atau dengan kata lain (G,*) membentuk grup) jika (G,*) memenuhi empat sifat berikut ini.

1) Tertutup
2) Asosiatif
3) Identitas
4) Invers

Untuk mengingat ke empat sifat ini, Anda bisa memberi singkatannya secara berurutan, misalnya TERAS IDENVERS.

Pada pemabahasan sebelumnya, telah dijelaskan secara khusus bagaimana cara Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya yang didefinisikan pada himpunan tersebut bahwa untuk setiap a dan b aggota di G harus berlaku a*b anggota di G juga. Selanjutnya, untuk membuktikan apakah berlaku sifat asosiatif atau tidak, sangat sederhana untuk dilakukan yaitu cukup mengambil sebarang 3 anggota di dalam himpunan G misalnya a, b, dan c, kemudian diperlihatkan apakah (a*b)*c=a*(b*c). Jika memenuhi, dikatakan bahwa berlaku sifat asosiatif. Sebagai contoh, pada himpunan bilangan bulat berlaku sifat asosiatif penjumlahan yaitu (a+b)+c=a+(b+c), untuk a, b, c bilangan bulat.

Pada kesempatan ini, akan dibahas bagaimana membuktikan suatu himpunan bersama operasinya apakah memenuhi sifat identitas atau sifat invers karena kedua hal ini berkaitan. Kita tidak akan mengetahui invers tanpa mengetahui unsur identitasnya.

Membuktikan Sifat Identitas dari Suatu Himpunan Sesuai Operasinya

Untuk membuktikan sifat identitas, harus dapat menemukan suatu unsur dalam G (biasa disimbolkan dengan e) sehingga untuk semua g anggota dalam G jika dioperasikan dengan suatu operasi * dengan unsur e tersebut, berlaku g*e=e*g=g. Jadi, ingat bahwa e harus merupakan anggota himpunan G juga, g*e=g dan e*g=g.

Terdapat suatu kesulitan dalam hal menemukan unsur identitasnya ketika kita akan membuktikan sifat identitas. Oleh karena itu, dapat dilakukan dengan cara menduga suatu unsur identitas dalam G (misal f dimana f $ \in G $), kemudian mengujinya apakah untuk setiap g dalam G berlaku g*f=f*g=g, jika ia maka f disebut unsur identitas dalam G terhadap operasi *. Operasi bintang maksudnya adalah suatu operasi tertentu yang didefinisikan pada suatu himpunan G. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Misal Z himpunan bilangan bulat dan + adalah operasi penjumlahan yang biasa, kita tahu bahwa sebarang a bilangan bulat jika dijumlahkan dengan 0 yakni a+0 atau 0+a pasti menghasilkan a (a+0=0+a=a). Karena keberadaan 0 ini yang merupakan anggota himpunan bilangan bulat juga, maka kita katakan 0 adalah unsur identitas terhadap operasi penjumlahan biasa pada bilangan bulat. Jadi, kita katakan himpunan bilangan bulat dengan operasi + ditulis (Z,+) memenuhi sifat identitas. Begitu juga untuk operasi x biasa bahwa unsur identitas terhadap operasi x biasa adalah 1 karena untuk setiap a bilangan bulat berlaku ax1=1xa=a.

Himpunan bilangan real terhadap operasi + atau x juga memenuhi sifat identitas karena sebarang bilangan real ditambahkan dengan 0 atau dikalikan dengan 1 pasti menghasulkan bilangan real itu juga dan kita tahu 0 dan 1 merupakan anggota dalam himpunan bilangan real.

Intinya, kita harus mampu menduga unsur identitasnya (e $\in G $), kemudian menguji apakah untuk setiap g anggota G berlaku g*e=e*g=g.

Misalkan G={1, -1, i, -i}, tentukan apakah G memiliki unsur idenditas terhadap operasi perkalian biasa!

Dengan memperhatikan setiap anggota G, kita menduga bahwa unsur identitasnya terhadap operasi perkalian adalah 1 karena untuk setiap g $\in$ G berlaku gx1=1xg=g, yakni 1x1=1, (-1)x1=1x(-1)=-1, ix1=1xi=i, (-i)x1=1x(-i)=-i.

Untuk pembaca: Apakah, G juga memiliki unsur identitas terhadap operasi penjumlahan yang biasa?

Membuktikan Sifat Invers dari Suatu Himpunan Sesuai Operasinya

Selanjutnya akan dibahas bagaimana membuktikan sifat invers. Kita pahami dulu apa yang dimaksud dengan invers. Kita telah mengetahui bahwa inversnya 2 terhadap operasi penjumlahan adalah -2, karena 2+(-2)=(-2)+2=0 sedangkan inversnya 2 terhadap operasi perkalian adalah 1/2 karena 2 x 1/2=1/2 x 2=1. Jadi tergantung operasinya apa dan identitasnya. Oleh karena itu untuk membuktikan sifat invers untuk suatu (G,*) dilakukan dengan cara:

" Mengambil sebarang anggota g dalam himpunan G, kemudian menentukan invers dari g yang dimisalkan dengan g', g' juga harus merupakan anggota G sehingga g*g'=g'*g=e. Artinya, untuk setiap g anggota G terdapat g' sehingga g*g'=g'*g=e. "

Perhatikan contoh berikut ini!

Misal G adalah himpunan bilangan bulat atau G=Z. Pada bahasan sebelumnya di atas, unsur identitas G terhadap operasi penjumlahan adalah 0 (e=0). Pertanyaan yang timbul sekarang, apakah (G,+) memenuhi sifat invers?

Ambil sebarang a $\in G$, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap a, terdapat a' $\in G$ sehingga a+a'=a'+a=0.

Perhatikan bahwa a+(-a)=0 dan (-a)+a=0, jadi a'=-a. Karena -a juga bilangan bulat maka -a merupakan anggota di G. Oleh karena itu, kita simpulkan (G,+) memenuhi sifat invers.

Untuk pembaca: Apakah himpunan bilangan bulat memenuhi sifat invers terhadap operasi perkalian?

Semoga bermanfaat.

Baca Selengkapnya...

Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya

Posted by Fredi Batauga 26/09/2016 0 komentar
Suatu himpunan misalnya (himpunan G) dengan suatu operasi (misalnya operasi bintang (*) yang didefinisikan pada himpunan G) adalah Grup (atau dengan kata lain (G,*) membentuk grup) jika memenuhi empat sifat berikut ini.

1) Tertutup
2) Asosiatif
3) Identitas
4) Invers

Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya

Untuk membuktikan sifat tertutup, harus dapat ditunjukkan bahwa semua anggota dalam himpunan G jika dioperasikan satu sama lainnya dengan operasi * maka menghasilkan anggota di himpunan G juga. Artinya bahwa, jika dua anggota sebarang dalam G dioperasikan dengan operasi * maka hasil operasinya juga merupakan anggota di G. Hal ini sulit dilakukan apabila banyaknya anggota di G tidak berhingga. Sehingga, apabila jumlah anggota di himpunan G tak berhingga maka cara membuktikan sifat tertutup adalah sebagai berikut.

Pertama-tama, ambil sebarang dua anggota dalam himpunan G (misalnya a dan b). Selanjutnya, operasikan dengan operasi * yakni a*b. Kita jalankan sampai kita mendapatkan hasil misalnya c sehingga c memenuhi syarat keanggotaan himpunan G, karena itu kita simpulkan bahwa a*b=c merupakan anggota G. Dengan demikian, (G,*) bersifat tertutup

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Misal Z himpunan bilangan bulat dan + adalah operasi + biasa, kita tahu bahwa sebarang a dan b bilangan bulat jika dijumlahkan yakni a+b pasti menghasilkan bilangan bulat juga sehingga kita katakan himpunan bilangan bulat dengan operasi + ditulis (Z,+) memenuhi sifat tertutup. Begitu juga untuk operasi x biasa.

Himpunan bilangan real terhadap operasi + atau x juga memenuhi sifat tertutup karena sebarang dua bilangan real ditambahkan atau dikalikan pasti bilangan real juga.

Pertanyaannya, apakah Q himpunan bilangan rasional, juga tertutup pada operasi + dan x? Sekarang mari kita lihat bagaimana caranya menunjukan sifat tertutup. Kita tahu bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b diamana a, b adalah bilangan bulat dan b#0. Jadi, himpunan bilangan rasional kita tuliskan dengan Q={a/b : b#0, a, b $ \in Z $}. Untuk membuktikan (Q,+) dan (Q,x) memenuhi sifat ketertutupan adalah:

"Ambil sebarang x, y anggota Q akan ditunjukan bahwa x+y dan x.y $\in Q$. Karena x dan y bilangan rasional maka masing-masing dapat dinyatakan dalam bentuk p/q dan r/s dimana p, q, r, s bilangan bulat dan q dan s tak nol. Perhatikan bahwa hasil dari p/q + r/s dan p/q x r/s juga merupakan bilangan rasional jadi kita simpulkan (Q,+) dan (Q, x) bersifat tertutup."

p/q + r/s=(ps+rq)/rs

p/q + r/s= pr/qs

Perhatikan bahwa ps+rq adalah bilangan bulat (berdasarkan contoh sebelumnya) dan rs tidak sama dengan 0 sehingga (ps+rq)/rs merupakan bilangan rasional. Begitu juga untuk pq/rs merupakan bilangan rasional.

Bagaimana sudah mengerti? Intinya, kita harus menunjukan bahwa untuk sebarang a, b anggota di G maka a*b juga anggota di G. Ingat bahwa operasi * merupakan operasi biner tertentu (operasi biner yaitu operasi yang memerukan dua buah unsur dalam suatu himpunan) yang didefinisikan untuk himpunan G, bisa operasi +, x, dll. Jadi, bisa yang lain dong? Iya, misal: a*b=a+b-2ab, sehingga untuk a=3 dan b=4 maka 3*4=3+4-2(3)(4)=7-24=-17.

Untuk pembaca: apakah operasi * yang didefinisikan oleh a*b=a+b-2ab tertutup pada himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, dan himpunan bilangan real?

Baca Selengkapnya...
Copyright of Matematika Ku Bisa. HALAMAN UTAMA

Google+ Badge