Matematika Ku Bisa

Menjelaskan tentang suatu Fakta, Konsep, Prinsip, Prosedural dan Pemodelan dalam Matematika.

Bukti Identitas |cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)

Bukti identitas $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$, ini dipertanyakan oleh salah satu teman saya yang kebetulan sedang mengambil mata kuliah Analisis Kompleks pada program studi pendidikan matematika, Universitas Lakidende, Unaaha. Agar dapat bermanfaat bagi pembaca blog ini, saya menulis buktinya di sini. Sebelumnya terima kasih telah berkunjung!

Tulisan ini diperuntuhkan bagi mahasiswa yang sedang mencari cara memuktikan identitas tersebut. Entah itu tugas dari dosen atau kebutuhan mahasiswa sendiri. Sehingga, bagi Anda yang sedang atau telah mengambil mata kuliah Analisis Kompleks, bukalah kembali buka Anda yang membahas tentang fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, dan modulus pada pelajaran analisis kompleks karena kali ini hanya akan dibuktiktikan identitas di atas saja, tidak membahas materi-materi yang disebutkan sebelumnya. Pada bukti di bawah ini, saya hanya memberikan ide cara membuktikannya, selebihnya Anda tinggal mempelajarinya mengapa langkah-langkah yang ada bisa terjadi. Itu adalah tugas Anda. 

Untuk membuktikan kesamaan di atas, dapat dilakukan dengan cara merubah salah satu ruas (ruas kiri atau ruas kanan) sehingga sama dengan ruas lainnya menggunakan kesamaan-kesamaan yang telah diketahui atau dibuktikan sebelumnya. 

Perhatikan kesamaannya, dari ruas kiri yaitu $|cosh (z)|^2$ akan ditujukkan $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$ sebagai berikut.

$ \begin{align} & |cosh (z)|^2 & = (cosh (z))(cosh ( \overline{z})) \\ & = (cosh (x+iy))(cosh (x-iy)) \\ & = (cosh (x) cosh (iy) + sinh (x) sinh (iy)) \\ & (cosh (x) cosh (iy) - sinh (x) sinh (iy)) \\ & = (cosh (x) cos (y) + sinh (x) i sin (y)) \\ & (cosh (x) cos (y) - sinh (x) i sin (y)) \\ & = (cosh (x) cos (y))^2 - (sinh (x) i sin (y))^2 \\ & = (cosh (x) cos (y))^2 + (sinh (x) sin (y))^2 \\ & = cos^2 (y) (cosh^2 (x) - sinh^2 (x)) + sinh^2 (x) cos^2 (y1 \\ & + sinh^2 (x) (sin^2 (y) + cos^2 (y)) - sinh^2 (x) cos^2 (y) \\ & = cos^2 (y) . (1) + sinh^2 (x) . (1) \\ & = cos^2 (y) + sinh^2 (x) \end{align} $.

Kita peroleh ruas kanannya yaitu $sinh^2 (x) + cos^2 (y)$. Karena ruas kiri samadengan ruas kanan maka kita telah membuktikan bahwa $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$. Demikian bukti singkat ini, semoga dapat bermanfaat bagi pembaca. 

Definisi Limit Fungsi Secara Intuisi

Setelah mempelajari Pra-Kalkulus dengan baik, memudahkan Anda mempelajari materi kalkulus yaitu limit, turunan, dan integral. Kalkulus dibangun dari konsep dasar berupa limit fungsi. Sehingga, pada kesempatan ini, yang akan dipelajari mula-mula adalah Definisi Limit Fungsi Secara Intuisi dan dilengkapi dengan Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Cara Substitusi. Setelah menguasai materi ini, selanjutnya akan dipelajari Definisi Limit Secara Formal. Berikut diberikan definisi/pengertian dari limit fungsi secara intuisi (bukan secara formal).

Definisi: Misalkan $ f $ sebuah fungsi dari bilangan real ke bilangan real ($ f : R \rightarrow R \, $) dan misalkan $ L $ dan $ a $ bilangan real. Kita katakan bahwa:

$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ 
jika dan hanya jika $ f(x) $ mendekati $ L $ untuk semua $ x $ mendekati $ a $.

Adapun Cara Membaca notasi limit fungsi di atas adalah sebagai berikut.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ dibaca limit fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x $ mendekati $ a $ sama dengan $ L $
Syarat suatu fungsi mempunyai limit di titik tertentu:
Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) $ . Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) $ .

Artinya, jika nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = L \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L $ .

Contoh: Apakah fungsi berikut ini mempunyai limit atau tidak?

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. $
untuk $ x \, $ mendekati 1?

Penyelesaian:
Keterangan fungsi: jika nilai $ x \leq 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x^2 $ dan jika nilai $ x > 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x + 1 $

Jadi, untuk x mendekati 1 dari arah kiri maka f(x) mendekati 1:
$\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} x^2 =1^2= 1$
dan untuk x mendekati 1 dari arah kanan maka f(x) mendekati 2:
$ \lim_{x \to 1^{+} } f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} x+1 =1+1=2 $

Karnena nilai limit kiri dan kananya tidak sama, maka fungsi $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. \, $ untuk $ x \, $ mendekati 1 tidak mempunyai limit.

Mempelajari definisi limit fungsi, baik secara intuisi maupun seara formal adalah syarat dan dasar memahami materi limit fungsi dan mempelajari teorema-teorema limit. Salah satu teorema yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal limit fungsi, baik fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri adalah teorema substitusi yang akan dibahas berikut ini. 

Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Cara Substitusi maksudnya adalah  mensubstitusikan/memasukan langsung nilai $ x \, $ ke fungsi $ f(x) $ tersebut yakni sebagai berikut.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $ 
Cara substitusi ini bisa dilakukan apabila f(a) memiliki nilai atau dengan kata lain f(x) terdefinisi pada x=a. Apabila tidak memiliki nilai maka cara substitusi ini tidak dapat dilakukan. Perhatikan contoh soal dan penyelesaiannya berikut ini.

Tentukan nilai limit dari bentuk berikut!
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } $

Penyelesaian:

a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 5 $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = \frac{(-1)^2 + 2}{2(-1) - 1 } = \frac{1 + 2 }{-2-1} = \frac{3}{-3} = -1 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = -1 $.

Coba perhatikan jawaban soal pada bagian a), dengan mensubstitusikan x=2 ke fungsi f(x)=2x+1 diperoleh f(2)=5. Oleh karena itu,  $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 5 $. Perhatikan juga jawaban soal pada bagian b), dengan mensubstitusikan x=-1 ke fungsi $ f(x)= \frac{x^2 + 2}{2x - 1 }$ diperoleh f(-1)=-1. Oleh karena itu, $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = -1 $. Adapaun apabila f(a) tidak memiliki nilai, caranya telah dijelaskan dalam tulisan lain dalam blog ini. Semoga tulisan sederhana ini bermanfaat. Terima kasih atas kunjungannya.

Rumus Dasar Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi

Setelah mahir Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan Fungsi baik untuk fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri. Sekarang pada tulisan ini, akan diberikan Rumus Dasar Turunan Fungsi yang akan digunakan untuk Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi.

Berikut ini daftar rumus-rumus dasar turunan fungsi:

1). $ y = c \rightarrow y^\prime = 0 $ .
dimana $ c \, $ adalah konstanta. Jadi, setiap kostanta turunannya adalah nol.

2). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
dimana $ n \, $ adalah bilangan real.

3). $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $

4). $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $

5). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $

dimana $ U \, $ dan $ V \, $ adalah dua buah fungsi yang berbeda.

6). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $

7). $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $

Contoh-contoh soalnya sebagai berikut.

1). Tentukan turunan fungsi aljabar berikut:
a). $ y = 3 $
b). $ y = x^5 $
c). $ y = \frac{5}{x^2} $
d). $ y = 3\sqrt{x} $
e). $ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } $
f). $ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} $

Penyelesaian :

a). Turunan konstanta adalah nol (rumus dasar 1).
$ y = 3 \rightarrow y^\prime = 0 $
b). Rumus dasar 2) dengan $ n = 5 $
$ y = x^5 \rightarrow y^\prime = n.x^{n-1} = 5.x^{5-1} = 5x^4 $
c). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{5}{x^2} = 5 x^{-2} \\ \rightarrow y^\prime = n . a . x^{n-1} \\ = (-2). 5. x^{(-2) - 1} \\ = -10x^{-3} = \\ \frac{-10}{x^3} $
d). Gunakan rumus dasar 2, dan sifat eksponen,
$ y = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \\ \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} \\ = \frac{1}{2}. 3. x^{\frac{1}{2} - 1} \\ = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} \\ = \frac{3}{2} \frac{1}{x^\frac{1}{2}} \\ = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
e). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } = \frac{2}{3x^1. x^\frac{1}{2} } = \frac{2}{3x^\frac{3}{2} } = \frac{2}{3} x^{-\frac{3}{2}} $
$ y^\prime = n.a.x^{n-1} = -\frac{3}{2} . \frac{2}{3} . x^{-\frac{3}{2} - 1 } = - x^{-\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^2.x^\frac{1}{2}} = \frac{-1}{x^2\sqrt{x}} $
f). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} = \frac{3}{2}x^\frac{3}{5} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{3}{5}. \frac{3}{2}.x^{\frac{3}{5} - 1} = \frac{9}{10} x^{-\frac{2}{5}} = \frac{9}{10} \frac{1}{ x^{\frac{2}{5}} } = \frac{9}{10 \sqrt[5]{x^2}} $

2). Tentukan turunan ($ f^\prime (x) $) dari setiap fungsi berikut.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 $

Penyelesaian :

Untuk menentukan turunan fungsi-fungsinya, kita gunakan rumus dasar 3. Rumus dasar 3 itu maksudnya setiap suku masing-masing diturunkan.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
Misalkan :
$ U = 3x^2 \rightarrow U^\prime = 2.3.x^{2-1} = 6x $
$ V = 2x= 2x = 2x^1 \rightarrow V^\prime = 1.2.x^{1-1} = 2 . x^0 = 2.1 = 2 $
Untuk fungsi yang variabelnya pangkat satu : $ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
Turunan fungsinya adalah :
$ f(x) = U- V \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime - V^\prime = 6x - 2 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 = 2x^\frac{1}{2} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} . 2 . x^{\frac{1}{2} - 1 } + 3.5.x^{3-1} - 0 = x^{-\frac{1}{2}} + 15x^2 = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 5.x^{5-1} + 3.2.x{3-1} - 3 + 0 = 5x^4 + 6x^2 - 3 $

3). Tentukan turunan fungsi aljabar dari fungsi $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $

Penyelesaian :

Kita gunakan rumus dasar 4. Sebenarnya setiap fungsi bisa dikalikan terlebih dahulu kemudian diturunkan menggunakan rumus dasar 3 dan 2.
a). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Misalkan :
$ U = (x^2-1) \rightarrow U^\prime = 2x - 0 = 2x $
$ V = (2x^3 + x) \rightarrow V^\prime = 6x^2 + 1 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = UV \\ y^\prime & = U^\prime . V + U. V^\prime \\ & = 2x. (2x^3 + x) + (x^2-1).( 6x^2 + 1) \\ & = 4x^4 + 2x^2 + ( 6x^4 + x^2 - 6x^2 - 1 ) \\ & = 10x^4 - 3x^2 - 1 \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 10x^4 - 3x^2 - 1 $

4). Tentukan turunan fungsi $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $ ?

Penyelesaian :
Kita gunakan rumus dasar 5).

Misalkan :
$ U = x^2 + 2 \rightarrow U^\prime = 2x + 0 = 2x $
$ V = 3x - 5 \rightarrow V^\prime = 3 - 0 = 3 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x . (3x - 5) - (x^2 + 2). 3}{(3x - 5)^2} \\ & = \frac{6x^2 - 10x - 3x^2 - 6}{9x^2 -30x + 25} \\ & = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $

Demikianlah Rumus Dasar Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi, semoga tulisan sederhana ini bermanfaat bagi yang sedang membutuhkannya.

Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan

Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan - Matematika Ku Bisa - Turunan fungsi $f(x)\,$ di $x=a\,$ dinotasikan dengan $f^\prime (a) \, $ , didefinisikan sebagai:

$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} \, \, $ jika limitnya ada.

atau bisa ditulis : $ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.

Bentuk $ f^\prime (a) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, a $ ". Jika kita tuliskan $ x = a + h \, $ , maka $ h = x - a \, $ dan untuk $ h \to 0 \, $ maka $ x \to a $ . Sehingga definisi limit di atas bisa juga ditulis:

$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} $

Notasi Turunan

Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ f^\prime (x) \, $ atau $ y^\prime $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ f^{\prime \prime} (x) \, $ atau $ y^{\prime \prime} $
dan seterusnya.

Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ \frac{df(x)}{dx} \, $ atau $ \frac{dy}{dx} $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ \frac{d^2f(x)}{(dx)^2} \, $ atau $ \frac{d^2y}{(dx)^2} $
dan seterusnya.

Definisi atau pengertian Turunan Fungsi Secara Umum

Turunan fungsi $ f(x) \, $ untuk semua $ x \, $ dinotasikan dengan $ f^\prime (x) \, $ , didefinisikan sebagai:

$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.

Bentuk $ f^\prime (x) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, x $ ".

Contoh Soal:
Tentukan turunan dari $ f(x) \, $ atau $ f^\prime (x) \, $ dari masing-masing fungsi berikut:
a). $ f(x) = 5x - 2 $
b). $ f(x) = x^2 + 2x $
c). $ f(x) = \sin x $

Penyelesaian: (Bentuk $ f^\prime (x) \, $ artinya turunan dari fungsi $ f(x) $)

a). $ f(x) = 5x - 2 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5(x+ h) - 2) - (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5x + 5h - 2) - (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{5h}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 5 \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 5 $

b). $ f(x) = x^2 + 2x $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [(x+ h)^2 +2(x+ h)] - (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h] - (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ h^2 + 2xh + 2h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } h + 2x + 2 \\ & = 0 + 2x + 2 \\ & = 2x + 2 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 2x + 2 $

c). $ f(x) = \sin x $
¤ Ingat bentuk:
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
Sehingga:
$ \begin{align} f(x+h) & = \sin (x + h) \\ & = \sin x \cos h + \cos x \sin h \end{align} $

¤ Rumus:
$ \cos x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga :
$ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $.

¤Bentuk :
$ \begin{align} \cos h - 1 & = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) - 1 \\ & = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ & = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h \end{align} $

¤ Menentukan penyelesaiannya:
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \cos x \sin h) - \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h - \sin x ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) }{h} \\ & + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) \\ & + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (0 ) + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $

Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = \cos x \, $ untuk $ f(x) = \sin x $

Demikianlah cara Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan. Semoga tulisan sederhana ini bermanfaat bagi pembaca sekalian.

Definisi dan Teorema Order dari Suatu Anggota Grup

Definisi: Misalkan (G,*) grup dan $a \in G$. Order dari a, ditulis $o(a)$, adalah bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga $a^n=e$. Jika tidak ada bilangan n yang demikian maka dikatakan order a adalah nol atau tak hingga. 

Teorema: Misalkan (G,*) grup dan $a \in G$ dengan $o(a)=n$.
1) Jika $a^m=e untuk suatu bilangan bulat positif m, maka n membagi m
2) Untuk setiap bilangan bulat positif t, berlaku $o(a^t)=n/FPB(t,n)$
Bukti 1): Karena n bilangan asli terkecil demikian sehingga $a^n=e$, maka n harus lebih kecil atau sama dengan m. Andaikan n tidak membagi m, maka menurut algoritma pembagian m=np+q dimana 0 < q < n.
Pandang!
$a^m=e$
$a^(np+q)=e$
$a^(np) a^q=e$
Jadi diperoleh $a^q$ juga sama dengan e dimana  0 < q < n. Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa n adalah yang terkecil sedemikian hingga $a^n=e$. Jadi, pengandaian salah yang benar adalah n membagi m.

Bukti 2): Misalkan KPK dari t dan n adalah m. Hal ini berarti bahwa t membagi m dan n membagi m. Akibatnya, $a^m=e$. Jadi, orde dari $a^t$ adalah p dimana t.p=m. Andaikan diketahui bahwa FPB dari t dan m adalah q. Maka, menurut suatu teorema dalam teori bilangan m=(t.n)/q. Dengan demikian orde dari $a^t$ adalah:
p=m/t
p={(t.n)/q}/t
p=n/q.
Karena q adalah FPB dari t dan n maka terbukti.

Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers

Suatu hal yang sangat penting untuk diketahui bahwa unsur identitas dalam Grup adalah tunggal. Hal ini mengakibatkan bahwa unsur invers dalam Grup juga tunggal.

Apa yang terjadi ketika unsur identitas itu tidak tunggal? Maka, suatu unsur akan memiliki lebih dari satu invers tergantung banyaknya unsur identitas. Kalau suatu unsur memiliki lebih dari satu invers maka setiap unsur itu di dalam G harus dituliskan sebanyak unsur inversnya dalam himpunan G tersebut. Hal ini bertentangan dengan konsep menuliskan keanggotaan himpunan sebab {a, a, b, b}={a, b}. Akibatnya, sulit membayangkan ketidakkonsistenan hal ini akan terjadi dalam matematika. Padahal, matematika dibangun atas dasar konsistensinya. Namun, hal ini tidak akan pernah terjadi karena kalau suatu himpunan G dengan operasi * adalah Grup maka Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers menyertainya sebagai sifat yang dimilikinya yang akan ditunjukkan di bawah ini dengan bukti kontradiksi yang lebih formal dari penjelasan barusan.

Di dalam kehidupan, pernahkah kita memikirkan bahwa setiap dari kita adalah tunggal? Hukum ketunggalan unsur identitas ini juga berlaku bagi diri kita sebagai individu manusia dalam himpunan manusia. Tidak ada satupun manusia yang sama persis walaupun mereka dilahirkan kembar atau dengan kata lain tidak ada satupun manusia yang memiliki identitas yang sama tetapi memiliki dua badan yang berbeda. Misalnya, identitas Ibnu Batauga dimiliki juga oleh Ahmad Batauga. Hal yang tidak bisa diterima oleh akal sehat karena jika identitas Ibnu Batauga dimiliki juga oleh Ahmad Batauga maka orang tua mereka juga sama yaitu sama-sama dilahirkan olehnya. Jika orang tua mereka itu sama maka sebenarnya Ibnu Batauga dan Ahmad Batauga adalah orang yang sama hanya nama panggilannya berbeda. Artinya tidak ada satu identitas tetapi dalam dua tubuh yang berbeda walaupun mereka terlahir kembar dari orang tua yang sama. Hal ini dibuktikan dengan penemuan ilmiah bahwa setiap orang memiliki pola garis pada jarinya itu unik. Jadi, setiap manusia memiliki identitasnya sendiri yang membedakan dengan orang lain.

Berikut ini diberikan bukti Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers secara formal.

¤) Unsur identitas itu tunggal

Bukti:
Andaikan tidak tunggal, maka suatu Grup memiliki unsur identitas lain (misalnya f) selain dari e. Akibatnya, e=e*f. Karena e=e*e maka diperoleh persamaan e*f=e*e. Dengan menggunakan hukum pencoretan kiri diperoleh f=e yang kontradiksi dengan pengandaian kita bahwa f tidak sama dengan e. (terbukti).

¤¤) Unsur invers itu juga tunggal sebagai akibat unsur identitas itu tunggal.

Bukti:
Andaikan untuk setiap a $\in G$ memiliki unsur invers lain (misalnya c) selain dari b. Maka, a*c=e. Karena a*b=e, diperoleh persamaan a*c=a*b. Dengan menggunakan hukum pencoretan kiri diperoleh c=b. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian kita bahwa c berlainan dengan b. (terbukti).

#CMIWW

Memahami Hukum Pencoretan

Hukum pencoretan merupakan hukum yang digunakan dalam melakukan penyederhanaan bentuk persamaan yang melibatkan operasi biner seperti operasi penjumlahan (+), perkalian (x), dsb. Contohnya sebagai berikut.

2x + 4= 6

Menerapkan hukum pencoretan untuk menyelesaikan persamaan tersebut, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.

2x + 4 = 6
2x + 4 = 2 + 4
2x = 2
2x = 2.1
x = 1

Perhatikan di atas, 6 dirubah menjadi 2 + 4 agar menjadi 2x + 4 = 2 + 4 sehingga hukum pencoretan kanan untuk operasi penjumlahan dapat dilakukan. Setelah dilakukan pencoretan maka bentuk persamaannya menjadi 2x=2. Agar hukum pencoretan kiri untuk operasi perkalian juga dapat digunakan, 2 dirubah menjadi 2.1 sehingga 2x=2 berubah menjadi 2x=2.1. Dengan menerapkan hukum pencoretan kiri diperoleh x=1.

Untuk lebih jelasnya, berikut ini diberikan definisnya.

Definisi:

1. Suatu himpunan A terhadap operasi * dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri jika a*b=a*c mengakibatkan b=c.

2. Suatu himpunan A dengan operasi * dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan jika b*a=c*a mengakibatkan b=c.

Catatan: Untuk himpunan A yang komutatif, jika memenuhi hukum pencoretan kiri, pasti memenuhi hukum pencoretan kanan karena a*b=b*a dan a*c=c*a sehingga jika a*b=a*c yang mengakibatkan b=c maka untuk b*a=c*a juga mengakibatkan b=c.

Hasil penting berikut ini adalah jaminan suatu himpunan memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan tanpa melihat apakah himpunan tersebut komutatif atau tidak.

"Jika A suatu grup maka A memenuhi hukum pencoretan kiri dan hukum pencoretan kanan"

Bukti:

Ambil sebarang a, b, c, f, g, dan h $\in A$. Jika a*b=a*c dan g*f=h*f akan diperlihatkan b=c dan g=h.

Karena A grup maka terdapat a' dan f' sedemikian hingga a'*a=a*a'=e dan f*f'=f'*f=e dimana e unsur identitas terhadap operasi *. Maka,

a*b=a*c
a'*(a*b)=a'(a*c)
(a'*a)*b=(a'*a)*c
e*b=e*c
b=c.

g*f=h*f
(g*f)*f'=(h*f)f'
g*(f*f')=h*(f*f')
g*e=h*e
g=h
(Terbukti)

Contoh-contoh:
¤ Himpunan bilangan asli dengan operasi perkalian memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan sekaligus karena pada himpunan tersebut dengan operasi perkalian berlaku sifat komutatif.

¤ Karena (Z, +) adalah grup maka berlaku hukum pencoretan kiri dan kanan.

Latihan: Coba perlihatkan apakah himpunan matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks memenuhi atau tidak memenuhi hukum pencoretan kiri dan hukum pencoretan kenan.

Cara Membuktikan Suatu Himpunan Beserta Operasinya adalah Grup

Suatu himpunan misalnya (himpunan G) dengan suatu operasi (misalnya operasi bintang (*) yang didefinisikan pada himpunan G) adalah Grup (atau dengan kata lain (G,*) membentuk grup) jika (G,*) memenuhi empat sifat berikut ini.

1) Tertutup
2) Asosiatif
3) Identitas
4) Invers

Untuk mengingat ke empat sifat ini, Anda bisa memberi singkatannya secara berurutan, misalnya TERAS IDENVERS.

Pada pemabahasan sebelumnya, telah dijelaskan secara khusus bagaimana cara Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya yang didefinisikan pada himpunan tersebut bahwa untuk setiap a dan b aggota di G harus berlaku a*b anggota di G juga. Selanjutnya, untuk membuktikan apakah berlaku sifat asosiatif atau tidak, sangat sederhana untuk dilakukan yaitu cukup mengambil sebarang 3 anggota di dalam himpunan G misalnya a, b, dan c, kemudian diperlihatkan apakah (a*b)*c=a*(b*c). Jika memenuhi, dikatakan bahwa berlaku sifat asosiatif. Sebagai contoh, pada himpunan bilangan bulat berlaku sifat asosiatif penjumlahan yaitu (a+b)+c=a+(b+c), untuk a, b, c bilangan bulat.

Pada kesempatan ini, akan dibahas bagaimana membuktikan suatu himpunan bersama operasinya apakah memenuhi sifat identitas atau sifat invers karena kedua hal ini berkaitan. Kita tidak akan mengetahui invers tanpa mengetahui unsur identitasnya.

Membuktikan Sifat Identitas dari Suatu Himpunan Sesuai Operasinya

Untuk membuktikan sifat identitas, harus dapat menemukan suatu unsur dalam G (biasa disimbolkan dengan e) sehingga untuk semua g anggota dalam G jika dioperasikan dengan suatu operasi * dengan unsur e tersebut, berlaku g*e=e*g=g. Jadi, ingat bahwa e harus merupakan anggota himpunan G juga, g*e=g dan e*g=g.

Terdapat suatu kesulitan dalam hal menemukan unsur identitasnya ketika kita akan membuktikan sifat identitas. Oleh karena itu, dapat dilakukan dengan cara menduga suatu unsur identitas dalam G (misal f dimana f $ \in G $), kemudian mengujinya apakah untuk setiap g dalam G berlaku g*f=f*g=g, jika ia maka f disebut unsur identitas dalam G terhadap operasi *. Operasi bintang maksudnya adalah suatu operasi tertentu yang didefinisikan pada suatu himpunan G. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Misal Z himpunan bilangan bulat dan + adalah operasi penjumlahan yang biasa, kita tahu bahwa sebarang a bilangan bulat jika dijumlahkan dengan 0 yakni a+0 atau 0+a pasti menghasilkan a (a+0=0+a=a). Karena keberadaan 0 ini yang merupakan anggota himpunan bilangan bulat juga, maka kita katakan 0 adalah unsur identitas terhadap operasi penjumlahan biasa pada bilangan bulat. Jadi, kita katakan himpunan bilangan bulat dengan operasi + ditulis (Z,+) memenuhi sifat identitas. Begitu juga untuk operasi x biasa bahwa unsur identitas terhadap operasi x biasa adalah 1 karena untuk setiap a bilangan bulat berlaku ax1=1xa=a.

Himpunan bilangan real terhadap operasi + atau x juga memenuhi sifat identitas karena sebarang bilangan real ditambahkan dengan 0 atau dikalikan dengan 1 pasti menghasulkan bilangan real itu juga dan kita tahu 0 dan 1 merupakan anggota dalam himpunan bilangan real.

Intinya, kita harus mampu menduga unsur identitasnya (e $\in G $), kemudian menguji apakah untuk setiap g anggota G berlaku g*e=e*g=g.

Misalkan G={1, -1, i, -i}, tentukan apakah G memiliki unsur idenditas terhadap operasi perkalian biasa!

Dengan memperhatikan setiap anggota G, kita menduga bahwa unsur identitasnya terhadap operasi perkalian adalah 1 karena untuk setiap g $\in$ G berlaku gx1=1xg=g, yakni 1x1=1, (-1)x1=1x(-1)=-1, ix1=1xi=i, (-i)x1=1x(-i)=-i.

Untuk pembaca: Apakah, G juga memiliki unsur identitas terhadap operasi penjumlahan yang biasa?

Membuktikan Sifat Invers dari Suatu Himpunan Sesuai Operasinya

Selanjutnya akan dibahas bagaimana membuktikan sifat invers. Kita pahami dulu apa yang dimaksud dengan invers. Kita telah mengetahui bahwa inversnya 2 terhadap operasi penjumlahan adalah -2, karena 2+(-2)=(-2)+2=0 sedangkan inversnya 2 terhadap operasi perkalian adalah 1/2 karena 2 x 1/2=1/2 x 2=1. Jadi tergantung operasinya apa dan identitasnya. Oleh karena itu untuk membuktikan sifat invers untuk suatu (G,*) dilakukan dengan cara:

" Mengambil sebarang anggota g dalam himpunan G, kemudian menentukan invers dari g yang dimisalkan dengan g', g' juga harus merupakan anggota G sehingga g*g'=g'*g=e. Artinya, untuk setiap g anggota G terdapat g' sehingga g*g'=g'*g=e. "

Perhatikan contoh berikut ini!

Misal G adalah himpunan bilangan bulat atau G=Z. Pada bahasan sebelumnya di atas, unsur identitas G terhadap operasi penjumlahan adalah 0 (e=0). Pertanyaan yang timbul sekarang, apakah (G,+) memenuhi sifat invers?

Ambil sebarang a $\in G$, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap a, terdapat a' $\in G$ sehingga a+a'=a'+a=0.

Perhatikan bahwa a+(-a)=0 dan (-a)+a=0, jadi a'=-a. Karena -a juga bilangan bulat maka -a merupakan anggota di G. Oleh karena itu, kita simpulkan (G,+) memenuhi sifat invers.

Untuk pembaca: Apakah himpunan bilangan bulat memenuhi sifat invers terhadap operasi perkalian?

Semoga bermanfaat.

Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya

Suatu himpunan misalnya (himpunan G) dengan suatu operasi (misalnya operasi bintang (*) yang didefinisikan pada himpunan G) adalah Grup (atau dengan kata lain (G,*) membentuk grup) jika memenuhi empat sifat berikut ini.

1) Tertutup
2) Asosiatif
3) Identitas
4) Invers

Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya

Untuk membuktikan sifat tertutup, harus dapat ditunjukkan bahwa semua anggota dalam himpunan G jika dioperasikan satu sama lainnya dengan operasi * maka menghasilkan anggota di himpunan G juga. Artinya bahwa, jika dua anggota sebarang dalam G dioperasikan dengan operasi * maka hasil operasinya juga merupakan anggota di G. Hal ini sulit dilakukan apabila banyaknya anggota di G tidak berhingga. Sehingga, apabila jumlah anggota di himpunan G tak berhingga maka cara membuktikan sifat tertutup adalah sebagai berikut.

Pertama-tama, ambil sebarang dua anggota dalam himpunan G (misalnya a dan b). Selanjutnya, operasikan dengan operasi * yakni a*b. Kita jalankan sampai kita mendapatkan hasil misalnya c sehingga c memenuhi syarat keanggotaan himpunan G, karena itu kita simpulkan bahwa a*b=c merupakan anggota G. Dengan demikian, (G,*) bersifat tertutup

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Misal Z himpunan bilangan bulat dan + adalah operasi + biasa, kita tahu bahwa sebarang a dan b bilangan bulat jika dijumlahkan yakni a+b pasti menghasilkan bilangan bulat juga sehingga kita katakan himpunan bilangan bulat dengan operasi + ditulis (Z,+) memenuhi sifat tertutup. Begitu juga untuk operasi x biasa.

Himpunan bilangan real terhadap operasi + atau x juga memenuhi sifat tertutup karena sebarang dua bilangan real ditambahkan atau dikalikan pasti bilangan real juga.

Pertanyaannya, apakah Q himpunan bilangan rasional, juga tertutup pada operasi + dan x? Sekarang mari kita lihat bagaimana caranya menunjukan sifat tertutup. Kita tahu bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b diamana a, b adalah bilangan bulat dan b#0. Jadi, himpunan bilangan rasional kita tuliskan dengan Q={a/b : b#0, a, b $ \in Z $}. Untuk membuktikan (Q,+) dan (Q,x) memenuhi sifat ketertutupan adalah:

"Ambil sebarang x, y anggota Q akan ditunjukan bahwa x+y dan x.y $\in Q$. Karena x dan y bilangan rasional maka masing-masing dapat dinyatakan dalam bentuk p/q dan r/s dimana p, q, r, s bilangan bulat dan q dan s tak nol. Perhatikan bahwa hasil dari p/q + r/s dan p/q x r/s juga merupakan bilangan rasional jadi kita simpulkan (Q,+) dan (Q, x) bersifat tertutup."

p/q + r/s=(ps+rq)/rs

p/q + r/s= pr/qs

Perhatikan bahwa ps+rq adalah bilangan bulat (berdasarkan contoh sebelumnya) dan rs tidak sama dengan 0 sehingga (ps+rq)/rs merupakan bilangan rasional. Begitu juga untuk pq/rs merupakan bilangan rasional.

Bagaimana sudah mengerti? Intinya, kita harus menunjukan bahwa untuk sebarang a, b anggota di G maka a*b juga anggota di G. Ingat bahwa operasi * merupakan operasi biner tertentu (operasi biner yaitu operasi yang memerukan dua buah unsur dalam suatu himpunan) yang didefinisikan untuk himpunan G, bisa operasi +, x, dll. Jadi, bisa yang lain dong? Iya, misal: a*b=a+b-2ab, sehingga untuk a=3 dan b=4 maka 3*4=3+4-2(3)(4)=7-24=-17.

Untuk pembaca: apakah operasi * yang didefinisikan oleh a*b=a+b-2ab tertutup pada himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, dan himpunan bilangan real?

Cara 2: Membuat Blog yang Memuaskan Pembaca

Setelah kita membuat blog berdasarkan Cara Buat Blog Gratis yang telah dibahas sebelumnya, selanjutnya kita fokus dulu menulis artikel secukupnya sebelum mengurus yang lainnya. Pada umumnya, blog dibuat untuk tujuan menyampaian sesuatu ke publik baik berupa informasi maupun pengetahuan. Inilah tujuan utama dibuatnya sebuah blog. Dengan keberadaannya yang berisi artikel dengan tema tertentu, sangat memudahkan seseorang untuk mencari informasi atau pengetahuan melalui internet. Sehingga, artikel yang dibuat harus mampu memberikan informasi yang bermanfaat. Beberapa aspek yang perlu diperhatikan dalam membuat blog yang memuaskan pembaca.

1. Kualitas Artikel Terjamin

Merupakan suatu keharusan bagi setiap penulis memperhatikan hal ini. Artikel yang berkualitas akan dapat membuat para pembaca puas dengan artikelnya. Sebuah artikel yang berkualitas menjamin isinya terhindar dari plagiat, sebisa mungkin menyertakan sumber kutipan baik yang diperoleh dari buku maupun dari sumber yang lain. Hindari membahas sesuatu yang kita tidak ahli dalam bidang itu sehingga isi artikel terhindar dari kadar subjektifitas penulis. Isi artikel harus benar dan terpercaya. Jika tidak, pembaca tidak akan membaca artikel kita di internet karena tidak dipercayai. Selain itu, artikel juga harus memudahkan pembaca dalam memahami isinya serta selengkap mungkin dalam membahasnya sesuai dengan judul artikel agar pembaca tidak perlu lagi mencari artikel dengan judul yang sama pada blog lainnya. Jika kita mampu menulis artikel sehingga pembaca tidak perlu lagi mencari artikel dengan judul yang sama, artinya pasti kita sudah memuaskan pembaca.

2. Memudahkan Pembaca Mengakses Blog

Walaupun artikel kita berkualitas, tidak akan memuaskan pembaca apabila blog kita sulit untuk diakses. Sehingga, pembaca yang baru saja mengklik link judul artikel, tetapi karena lambat maka ia memilih kembali atau batal untuk membacanya. Kesulitan itu misalnya diakibatkan karena blog terlalu berat untuk diakses sehingga lambat loading atau kebanyakan berisi gambar dan iklan. Blog yang seperti ini tidak akan disukai oleh pembaca. Blog yang dapat memuaskan pembaca adalah ringan, jelas tata letaknya sehingga pembaca dapat mengenali bagian-bagian yang ada pada blog tersebut agar memudahkan mengotak atik artikel yang ada pada blog tersebut, misalnya, membuat daftar isi artikel berdasarkan label tertentu. Jika perlu tampilan blog harus responsive untuk semua perangkat penjelajah internet (browser). Jadi jika blognya ringan namun tatap keren tampilannya, tata letaknya tertata dengan baik, dan dapat diakses semua perangkat maka kita sudah dapat memuaskan pembaca.

3. Memperbanyak Artikel yang Berkualitas

Setelah mampu menulis artikel yang berkualitas dan mendesain blog yang mudah diakses untuk semua perangkat, maka hal terakhir yang dilakukan adalah memperbanyak artikel yang berkualitas. Periksalah kembali setiap artikel, buang artikel yang tidak berhubungan dengan tema blog dan kurang berkualitas atau jika tidak, lakukan pengeditan setiap saat untuk meningkatkan kualitas tulisan, dan usahakan setiap artikel saling terhubung dengan sebuah link internal untuk artikel yang saling terkait. Misalnya, menyertakan artikel yang berkaitan dengan label yang sama sehingga di setiap kali pembaca membaca sebuah judul artikel, ia disuguhkan lagi judul artikel yang terkait yang mungkin menarik pembaca untuk membacanya.

Ke tiga hal di atas, tidak akan tercapai apabila penulis blog tidak memiliki kemampuan menulis yang baik sesuai dengan kaidah penulisan yang baku. Sehingga disarankan bagi penulis blog untuk melatih kemampuan menyajikan tulisan dalam suatu karangan. Seorang penulis harus mampu membuat kalimat yang baik dan benar, serta mampu menyusun paragraf yang utuh dan saling berkaitan antara satu paragraf dengan paragraf yang lain dalam satu karangan agar informasi atau pengetahuan yang ingin disampaikan dapat tercapai. Selain itu, hal yang harus dimiliki penulis adalah kemampuan dalam mengelolah blog. Misalnya, mengetahui pengeditan blog menggunakan bahasa HTML, php, dan sebagainya. Untuk itu, seorang penulis harus lebih banyak membaca dan berlatih daripada pembaca.

Akhiru kalam, semoga pembahasan tentang Cara Membuat Blog yang Memuaskan Pembaca dapat bermanfaat bagi kita semua.

Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi

Tidak sedikit mahasiswa yang tidak memahami konsep fungsi. Akibatnya, ia gagal faham dan kesulitan dalam memahami konsep kalkulus. Semua bahasan dalam kalkulus tidak terlepas dari yang namanya fungsi, yakni limit fungsi, turunan fungsi, dan integral fungsi baik fungsi aljabar maupun fungsi transenden. Fungsi yang dibicarakan adalah fungsi real yaitu fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real.

Fokus dalam memahami konsep kalkulus adalah fokus dalam pembelajaran kalkulus. Ridgon dalam pengantar buku kalkulus mengatakan bahwa fokus buku kalkulus tersebut ditulis adalah fokus pada pemahaman konsep kalkulus. Sehingga, penting memahami konsep dari fungsi yang merupakan materi pra-syarat mempelajari kalkulus. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan fungsi? Ketika merekontruksi rumus integral rienman yang digunakan adalah konsep fungsi untuk menentukan luas daerah di bawah kurva. Sangat penting menguasai dasar-dasar sebelum masuk pada matakuliah kalkulus bukan? Untuk itu, marilah mencermati masalah berikut ini yang merupakan sebuah masalah dalam kehidupan sehari-hari yang semoga dapat memudahkan kita untuk memahami konsep fungsi.

Misalkan A himpunan usaha yaitu A={$w_1, w_2, ..., w_n$} dan B={sukses, gagal}. Adakah hubungan antara himpunan A ke himpunan B? Suatu usaha hanya memiliki dua kemungkinan hasil yaitu sukses atau gagal. Hasil yang dicapai merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Karena setiap usaha yang dilakukan hanya ada satu hasil, sukses ataukah gagal (tidak mungkin keduanya), maka relasi "hasil yang dicapai" dari himpunan A ke B merupakan suatu fungsi, mengapa? Untuk menjawabnya , berikut ini diberikan pengertian fungsi.

Pengertian Fungsi

Fungsi adalah suatu relasi yang memetakan untuk setiap himpunan X hanya sekali ke himpunan Y. Pemetaan itu disajikan dengan lambang sebagai berikut.

$f: X \rightarrow Y$

Himpunan X disebut daerah asal fungsi atau domain f (dom f) dan Y disebut daerah kawan atau daerah hasil fungsi atau kodomain (kod f). Jika $x \in X $, maka $y \in Y$ yang berelasi dengan elemen x disebut bayangan (atau peta) dari x oleh f, atau nilai dari fungsi f di x dan dilambangkan dengan y=f(x). Jadi jika b adalah bayangan a oleh f ditulis b=f(a) atau dengan kata lain nilai dari fungsi f di a adalah f(a)=b. Adapaun range (daerah hasil) dari f adalah himpunan bagian dari himpunan Y yang merupakan bayangan dari setiap anggota di himpuana X oleh f. Jadi dapat dituliskan dengan, rangge (f)={$ y \in Y$ : $y=f(x) \forall x \in X$}. Dalam istilah lain, $x \in X$ disebut variabel bebas dan $y \in Y$ disebut variabel tak bebas.

Definisi Fungsi Formal

Misalnya $f: X \rightarrow Y$, f adalah fungsi jika dan hanya jika $\forall x_1, x_2 \in X$, $x_1=x_2 \Rightarrow f(x_1)=f(x_2)$.

Definisi ini sama artinya dengan definisi yang diberikan sebelumnya. Definisi ini digunakan untuk mengecek apakah suatu relasi adalah suatu fungsi. Sangat dianjurkan untuk menghapal dan memahaminya karena banyak digunakan nantinya.

Notasi Fungsi

Untuk memberikan nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F). Oleh karena itu, f(x) dibaca "f dari x" atau "f pada x" menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika $f(x)=x^3-4$ maka $f(1)=1^3 -4=-3$.

Setelah memahami apa itu fungsi diharapkan kita dapat mengklasifikasi apa-apa saja yang termasuk fungsi dari berbagai relasi antara dua himpunan baik dalam pembelajaran matematika maupun di luar pembelajaran matematika, misalkan di dalam kehidupan sehari-hari seperti contoh sebelumnya di atas.

Untuk memhami konsep fungsi kalian tentu harus memahami konsep relasi antara dua himpunan dan konsep himpunan itu sendiri. Untuk memahami kesemua ini, kita harus benar-benar menguasai konsep logika matematika. Inilah yang belakangan ini disebut landasan matematika yaitu logika matematika, himpunan, relasi, dan fungsi.

Demikian tulisan ini, semoga bermanfaat.
Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design