Matematika Ku Bisa

Menjelaskan tentang suatu Fakta, Konsep, Prinsip, Prosedural dan Pemodelan dalam Matematika.

Bukti Identitas |cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)

Bukti identitas $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$, ini dipertanyakan oleh salah satu teman saya yang kebetulan sedang mengambil mata kuliah Analisis Kompleks pada program studi pendidikan matematika, Universitas Lakidende, Unaaha. Agar dapat bermanfaat bagi pembaca blog ini, saya menulis buktinya di sini. Sebelumnya terima kasih telah berkunjung!

Tulisan ini diperuntuhkan bagi mahasiswa yang sedang mencari cara memuktikan identitas tersebut. Entah itu tugas dari dosen atau kebutuhan mahasiswa sendiri. Sehingga, bagi Anda yang sedang atau telah mengambil mata kuliah Analisis Kompleks, bukalah kembali buka Anda yang membahas tentang fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, dan modulus pada pelajaran analisis kompleks karena kali ini hanya akan dibuktiktikan identitas di atas saja, tidak membahas materi-materi yang disebutkan sebelumnya. Pada bukti di bawah ini, saya hanya memberikan ide cara membuktikannya, selebihnya Anda tinggal mempelajarinya mengapa langkah-langkah yang ada bisa terjadi. Itu adalah tugas Anda. 

Untuk membuktikan kesamaan di atas, dapat dilakukan dengan cara merubah salah satu ruas (ruas kiri atau ruas kanan) sehingga sama dengan ruas lainnya menggunakan kesamaan-kesamaan yang telah diketahui atau dibuktikan sebelumnya. 

Perhatikan kesamaannya, dari ruas kiri yaitu $|cosh (z)|^2$ akan ditujukkan $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$ sebagai berikut.

$ \begin{align} & |cosh (z)|^2 & = (cosh (z))(cosh ( \overline{z})) \\ & = (cosh (x+iy))(cosh (x-iy)) \\ & = (cosh (x) cosh (iy) + sinh (x) sinh (iy)) \\ & (cosh (x) cosh (iy) - sinh (x) sinh (iy)) \\ & = (cosh (x) cos (y) + sinh (x) i sin (y)) \\ & (cosh (x) cos (y) - sinh (x) i sin (y)) \\ & = (cosh (x) cos (y))^2 - (sinh (x) i sin (y))^2 \\ & = (cosh (x) cos (y))^2 + (sinh (x) sin (y))^2 \\ & = cos^2 (y) (cosh^2 (x) - sinh^2 (x)) + sinh^2 (x) cos^2 (y1 \\ & + sinh^2 (x) (sin^2 (y) + cos^2 (y)) - sinh^2 (x) cos^2 (y) \\ & = cos^2 (y) . (1) + sinh^2 (x) . (1) \\ & = cos^2 (y) + sinh^2 (x) \end{align} $.

Kita peroleh ruas kanannya yaitu $sinh^2 (x) + cos^2 (y)$. Karena ruas kiri samadengan ruas kanan maka kita telah membuktikan bahwa $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$. Demikian bukti singkat ini, semoga dapat bermanfaat bagi pembaca. 

Definisi Limit Fungsi Secara Intuisi

Setelah mempelajari Pra-Kalkulus dengan baik, memudahkan Anda mempelajari materi kalkulus yaitu limit, turunan, dan integral. Kalkulus dibangun dari konsep dasar berupa limit fungsi. Sehingga, pada kesempatan ini, yang akan dipelajari mula-mula adalah Definisi Limit Fungsi Secara Intuisi dan dilengkapi dengan Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Cara Substitusi. Setelah menguasai materi ini, selanjutnya akan dipelajari Definisi Limit Secara Formal. Berikut diberikan definisi/pengertian dari limit fungsi secara intuisi (bukan secara formal).

Definisi: Misalkan $ f $ sebuah fungsi dari bilangan real ke bilangan real ($ f : R \rightarrow R \, $) dan misalkan $ L $ dan $ a $ bilangan real. Kita katakan bahwa:

$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ 
jika dan hanya jika $ f(x) $ mendekati $ L $ untuk semua $ x $ mendekati $ a $.

Adapun Cara Membaca notasi limit fungsi di atas adalah sebagai berikut.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ dibaca limit fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x $ mendekati $ a $ sama dengan $ L $
Syarat suatu fungsi mempunyai limit di titik tertentu:
Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) $ . Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) $ .

Artinya, jika nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = L \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L $ .

Contoh: Apakah fungsi berikut ini mempunyai limit atau tidak?

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. $
untuk $ x \, $ mendekati 1?

Penyelesaian:
Keterangan fungsi: jika nilai $ x \leq 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x^2 $ dan jika nilai $ x > 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x + 1 $

Jadi, untuk x mendekati 1 dari arah kiri maka f(x) mendekati 1:
$\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} x^2 =1^2= 1$
dan untuk x mendekati 1 dari arah kanan maka f(x) mendekati 2:
$ \lim_{x \to 1^{+} } f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} x+1 =1+1=2 $

Karnena nilai limit kiri dan kananya tidak sama, maka fungsi $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. \, $ untuk $ x \, $ mendekati 1 tidak mempunyai limit.

Mempelajari definisi limit fungsi, baik secara intuisi maupun seara formal adalah syarat dan dasar memahami materi limit fungsi dan mempelajari teorema-teorema limit. Salah satu teorema yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal limit fungsi, baik fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri adalah teorema substitusi yang akan dibahas berikut ini. 

Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Cara Substitusi maksudnya adalah  mensubstitusikan/memasukan langsung nilai $ x \, $ ke fungsi $ f(x) $ tersebut yakni sebagai berikut.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $ 
Cara substitusi ini bisa dilakukan apabila f(a) memiliki nilai atau dengan kata lain f(x) terdefinisi pada x=a. Apabila tidak memiliki nilai maka cara substitusi ini tidak dapat dilakukan. Perhatikan contoh soal dan penyelesaiannya berikut ini.

Tentukan nilai limit dari bentuk berikut!
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } $

Penyelesaian:

a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 5 $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = \frac{(-1)^2 + 2}{2(-1) - 1 } = \frac{1 + 2 }{-2-1} = \frac{3}{-3} = -1 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = -1 $.

Coba perhatikan jawaban soal pada bagian a), dengan mensubstitusikan x=2 ke fungsi f(x)=2x+1 diperoleh f(2)=5. Oleh karena itu,  $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 5 $. Perhatikan juga jawaban soal pada bagian b), dengan mensubstitusikan x=-1 ke fungsi $ f(x)= \frac{x^2 + 2}{2x - 1 }$ diperoleh f(-1)=-1. Oleh karena itu, $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = -1 $. Adapaun apabila f(a) tidak memiliki nilai, caranya telah dijelaskan dalam tulisan lain dalam blog ini. Semoga tulisan sederhana ini bermanfaat. Terima kasih atas kunjungannya.

Rumus Dasar Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi

Setelah mahir Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan Fungsi baik untuk fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri. Sekarang pada tulisan ini, akan diberikan Rumus Dasar Turunan Fungsi yang akan digunakan untuk Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi.

Berikut ini daftar rumus-rumus dasar turunan fungsi:

1). $ y = c \rightarrow y^\prime = 0 $ .
dimana $ c \, $ adalah konstanta. Jadi, setiap kostanta turunannya adalah nol.

2). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
dimana $ n \, $ adalah bilangan real.

3). $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $

4). $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $

5). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $

dimana $ U \, $ dan $ V \, $ adalah dua buah fungsi yang berbeda.

6). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $

7). $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $

Contoh-contoh soalnya sebagai berikut.

1). Tentukan turunan fungsi aljabar berikut:
a). $ y = 3 $
b). $ y = x^5 $
c). $ y = \frac{5}{x^2} $
d). $ y = 3\sqrt{x} $
e). $ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } $
f). $ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} $

Penyelesaian :

a). Turunan konstanta adalah nol (rumus dasar 1).
$ y = 3 \rightarrow y^\prime = 0 $
b). Rumus dasar 2) dengan $ n = 5 $
$ y = x^5 \rightarrow y^\prime = n.x^{n-1} = 5.x^{5-1} = 5x^4 $
c). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{5}{x^2} = 5 x^{-2} \\ \rightarrow y^\prime = n . a . x^{n-1} \\ = (-2). 5. x^{(-2) - 1} \\ = -10x^{-3} = \\ \frac{-10}{x^3} $
d). Gunakan rumus dasar 2, dan sifat eksponen,
$ y = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \\ \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} \\ = \frac{1}{2}. 3. x^{\frac{1}{2} - 1} \\ = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} \\ = \frac{3}{2} \frac{1}{x^\frac{1}{2}} \\ = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
e). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } = \frac{2}{3x^1. x^\frac{1}{2} } = \frac{2}{3x^\frac{3}{2} } = \frac{2}{3} x^{-\frac{3}{2}} $
$ y^\prime = n.a.x^{n-1} = -\frac{3}{2} . \frac{2}{3} . x^{-\frac{3}{2} - 1 } = - x^{-\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^2.x^\frac{1}{2}} = \frac{-1}{x^2\sqrt{x}} $
f). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} = \frac{3}{2}x^\frac{3}{5} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{3}{5}. \frac{3}{2}.x^{\frac{3}{5} - 1} = \frac{9}{10} x^{-\frac{2}{5}} = \frac{9}{10} \frac{1}{ x^{\frac{2}{5}} } = \frac{9}{10 \sqrt[5]{x^2}} $

2). Tentukan turunan ($ f^\prime (x) $) dari setiap fungsi berikut.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 $

Penyelesaian :

Untuk menentukan turunan fungsi-fungsinya, kita gunakan rumus dasar 3. Rumus dasar 3 itu maksudnya setiap suku masing-masing diturunkan.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
Misalkan :
$ U = 3x^2 \rightarrow U^\prime = 2.3.x^{2-1} = 6x $
$ V = 2x= 2x = 2x^1 \rightarrow V^\prime = 1.2.x^{1-1} = 2 . x^0 = 2.1 = 2 $
Untuk fungsi yang variabelnya pangkat satu : $ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
Turunan fungsinya adalah :
$ f(x) = U- V \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime - V^\prime = 6x - 2 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 = 2x^\frac{1}{2} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} . 2 . x^{\frac{1}{2} - 1 } + 3.5.x^{3-1} - 0 = x^{-\frac{1}{2}} + 15x^2 = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 5.x^{5-1} + 3.2.x{3-1} - 3 + 0 = 5x^4 + 6x^2 - 3 $

3). Tentukan turunan fungsi aljabar dari fungsi $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $

Penyelesaian :

Kita gunakan rumus dasar 4. Sebenarnya setiap fungsi bisa dikalikan terlebih dahulu kemudian diturunkan menggunakan rumus dasar 3 dan 2.
a). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Misalkan :
$ U = (x^2-1) \rightarrow U^\prime = 2x - 0 = 2x $
$ V = (2x^3 + x) \rightarrow V^\prime = 6x^2 + 1 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = UV \\ y^\prime & = U^\prime . V + U. V^\prime \\ & = 2x. (2x^3 + x) + (x^2-1).( 6x^2 + 1) \\ & = 4x^4 + 2x^2 + ( 6x^4 + x^2 - 6x^2 - 1 ) \\ & = 10x^4 - 3x^2 - 1 \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 10x^4 - 3x^2 - 1 $

4). Tentukan turunan fungsi $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $ ?

Penyelesaian :
Kita gunakan rumus dasar 5).

Misalkan :
$ U = x^2 + 2 \rightarrow U^\prime = 2x + 0 = 2x $
$ V = 3x - 5 \rightarrow V^\prime = 3 - 0 = 3 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x . (3x - 5) - (x^2 + 2). 3}{(3x - 5)^2} \\ & = \frac{6x^2 - 10x - 3x^2 - 6}{9x^2 -30x + 25} \\ & = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $

Demikianlah Rumus Dasar Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi, semoga tulisan sederhana ini bermanfaat bagi yang sedang membutuhkannya.

Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan

Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan - Matematika Ku Bisa - Turunan fungsi $f(x)\,$ di $x=a\,$ dinotasikan dengan $f^\prime (a) \, $ , didefinisikan sebagai:

$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} \, \, $ jika limitnya ada.

atau bisa ditulis : $ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.

Bentuk $ f^\prime (a) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, a $ ". Jika kita tuliskan $ x = a + h \, $ , maka $ h = x - a \, $ dan untuk $ h \to 0 \, $ maka $ x \to a $ . Sehingga definisi limit di atas bisa juga ditulis:

$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} $

Notasi Turunan

Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ f^\prime (x) \, $ atau $ y^\prime $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ f^{\prime \prime} (x) \, $ atau $ y^{\prime \prime} $
dan seterusnya.

Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ \frac{df(x)}{dx} \, $ atau $ \frac{dy}{dx} $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ \frac{d^2f(x)}{(dx)^2} \, $ atau $ \frac{d^2y}{(dx)^2} $
dan seterusnya.

Definisi atau pengertian Turunan Fungsi Secara Umum

Turunan fungsi $ f(x) \, $ untuk semua $ x \, $ dinotasikan dengan $ f^\prime (x) \, $ , didefinisikan sebagai:

$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.

Bentuk $ f^\prime (x) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, x $ ".

Contoh Soal:
Tentukan turunan dari $ f(x) \, $ atau $ f^\prime (x) \, $ dari masing-masing fungsi berikut:
a). $ f(x) = 5x - 2 $
b). $ f(x) = x^2 + 2x $
c). $ f(x) = \sin x $

Penyelesaian: (Bentuk $ f^\prime (x) \, $ artinya turunan dari fungsi $ f(x) $)

a). $ f(x) = 5x - 2 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5(x+ h) - 2) - (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5x + 5h - 2) - (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{5h}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 5 \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 5 $

b). $ f(x) = x^2 + 2x $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [(x+ h)^2 +2(x+ h)] - (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h] - (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ h^2 + 2xh + 2h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } h + 2x + 2 \\ & = 0 + 2x + 2 \\ & = 2x + 2 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 2x + 2 $

c). $ f(x) = \sin x $
¤ Ingat bentuk:
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
Sehingga:
$ \begin{align} f(x+h) & = \sin (x + h) \\ & = \sin x \cos h + \cos x \sin h \end{align} $

¤ Rumus:
$ \cos x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga :
$ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $.

¤Bentuk :
$ \begin{align} \cos h - 1 & = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) - 1 \\ & = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ & = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h \end{align} $

¤ Menentukan penyelesaiannya:
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \cos x \sin h) - \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h - \sin x ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) }{h} \\ & + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) \\ & + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (0 ) + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $

Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = \cos x \, $ untuk $ f(x) = \sin x $

Demikianlah cara Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan. Semoga tulisan sederhana ini bermanfaat bagi pembaca sekalian.

Definisi dan Teorema Order dari Suatu Anggota Grup

Definisi: Misalkan (G,*) grup dan $a \in G$. Order dari a, ditulis $o(a)$, adalah bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga $a^n=e$. Jika tidak ada bilangan n yang demikian maka dikatakan order a adalah nol atau tak hingga. 

Teorema: Misalkan (G,*) grup dan $a \in G$ dengan $o(a)=n$.
1) Jika $a^m=e untuk suatu bilangan bulat positif m, maka n membagi m
2) Untuk setiap bilangan bulat positif t, berlaku $o(a^t)=n/FPB(t,n)$
Bukti 1): Karena n bilangan asli terkecil demikian sehingga $a^n=e$, maka n harus lebih kecil atau sama dengan m. Andaikan n tidak membagi m, maka menurut algoritma pembagian m=np+q dimana 0 < q < n.
Pandang!
$a^m=e$
$a^(np+q)=e$
$a^(np) a^q=e$
Jadi diperoleh $a^q$ juga sama dengan e dimana  0 < q < n. Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa n adalah yang terkecil sedemikian hingga $a^n=e$. Jadi, pengandaian salah yang benar adalah n membagi m.

Bukti 2): Misalkan KPK dari t dan n adalah m. Hal ini berarti bahwa t membagi m dan n membagi m. Akibatnya, $a^m=e$. Jadi, orde dari $a^t$ adalah p dimana t.p=m. Andaikan diketahui bahwa FPB dari t dan m adalah q. Maka, menurut suatu teorema dalam teori bilangan m=(t.n)/q. Dengan demikian orde dari $a^t$ adalah:
p=m/t
p={(t.n)/q}/t
p=n/q.
Karena q adalah FPB dari t dan n maka terbukti.

Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers

Suatu hal yang sangat penting untuk diketahui bahwa unsur identitas dalam Grup adalah tunggal. Hal ini mengakibatkan bahwa unsur invers dalam Grup juga tunggal.

Apa yang terjadi ketika unsur identitas itu tidak tunggal? Maka, suatu unsur akan memiliki lebih dari satu invers tergantung banyaknya unsur identitas. Kalau suatu unsur memiliki lebih dari satu invers maka setiap unsur itu di dalam G harus dituliskan sebanyak unsur inversnya dalam himpunan G tersebut. Hal ini bertentangan dengan konsep menuliskan keanggotaan himpunan sebab {a, a, b, b}={a, b}. Akibatnya, sulit membayangkan ketidakkonsistenan hal ini akan terjadi dalam matematika. Padahal, matematika dibangun atas dasar konsistensinya. Namun, hal ini tidak akan pernah terjadi karena kalau suatu himpunan G dengan operasi * adalah Grup maka Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers menyertainya sebagai sifat yang dimilikinya yang akan ditunjukkan di bawah ini dengan bukti kontradiksi yang lebih formal dari penjelasan barusan.

Di dalam kehidupan, pernahkah kita memikirkan bahwa setiap dari kita adalah tunggal? Hukum ketunggalan unsur identitas ini juga berlaku bagi diri kita sebagai individu manusia dalam himpunan manusia. Tidak ada satupun manusia yang sama persis walaupun mereka dilahirkan kembar atau dengan kata lain tidak ada satupun manusia yang memiliki identitas yang sama tetapi memiliki dua badan yang berbeda. Misalnya, identitas Ibnu Batauga dimiliki juga oleh Ahmad Batauga. Hal yang tidak bisa diterima oleh akal sehat karena jika identitas Ibnu Batauga dimiliki juga oleh Ahmad Batauga maka orang tua mereka juga sama yaitu sama-sama dilahirkan olehnya. Jika orang tua mereka itu sama maka sebenarnya Ibnu Batauga dan Ahmad Batauga adalah orang yang sama hanya nama panggilannya berbeda. Artinya tidak ada satu identitas tetapi dalam dua tubuh yang berbeda walaupun mereka terlahir kembar dari orang tua yang sama. Hal ini dibuktikan dengan penemuan ilmiah bahwa setiap orang memiliki pola garis pada jarinya itu unik. Jadi, setiap manusia memiliki identitasnya sendiri yang membedakan dengan orang lain.

Berikut ini diberikan bukti Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers secara formal.

¤) Unsur identitas itu tunggal

Bukti:
Andaikan tidak tunggal, maka suatu Grup memiliki unsur identitas lain (misalnya f) selain dari e. Akibatnya, e=e*f. Karena e=e*e maka diperoleh persamaan e*f=e*e. Dengan menggunakan hukum pencoretan kiri diperoleh f=e yang kontradiksi dengan pengandaian kita bahwa f tidak sama dengan e. (terbukti).

¤¤) Unsur invers itu juga tunggal sebagai akibat unsur identitas itu tunggal.

Bukti:
Andaikan untuk setiap a $\in G$ memiliki unsur invers lain (misalnya c) selain dari b. Maka, a*c=e. Karena a*b=e, diperoleh persamaan a*c=a*b. Dengan menggunakan hukum pencoretan kiri diperoleh c=b. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian kita bahwa c berlainan dengan b. (terbukti).

#CMIWW

Memahami Hukum Pencoretan

Hukum pencoretan merupakan hukum yang digunakan dalam melakukan penyederhanaan bentuk persamaan yang melibatkan operasi biner seperti operasi penjumlahan (+), perkalian (x), dsb. Contohnya sebagai berikut.

2x + 4= 6

Menerapkan hukum pencoretan untuk menyelesaikan persamaan tersebut, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.

2x + 4 = 6
2x + 4 = 2 + 4
2x = 2
2x = 2.1
x = 1

Perhatikan di atas, 6 dirubah menjadi 2 + 4 agar menjadi 2x + 4 = 2 + 4 sehingga hukum pencoretan kanan untuk operasi penjumlahan dapat dilakukan. Setelah dilakukan pencoretan maka bentuk persamaannya menjadi 2x=2. Agar hukum pencoretan kiri untuk operasi perkalian juga dapat digunakan, 2 dirubah menjadi 2.1 sehingga 2x=2 berubah menjadi 2x=2.1. Dengan menerapkan hukum pencoretan kiri diperoleh x=1.

Untuk lebih jelasnya, berikut ini diberikan definisnya.

Definisi:

1. Suatu himpunan A terhadap operasi * dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri jika a*b=a*c mengakibatkan b=c.

2. Suatu himpunan A dengan operasi * dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan jika b*a=c*a mengakibatkan b=c.

Catatan: Untuk himpunan A yang komutatif, jika memenuhi hukum pencoretan kiri, pasti memenuhi hukum pencoretan kanan karena a*b=b*a dan a*c=c*a sehingga jika a*b=a*c yang mengakibatkan b=c maka untuk b*a=c*a juga mengakibatkan b=c.

Hasil penting berikut ini adalah jaminan suatu himpunan memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan tanpa melihat apakah himpunan tersebut komutatif atau tidak.

"Jika A suatu grup maka A memenuhi hukum pencoretan kiri dan hukum pencoretan kanan"

Bukti:

Ambil sebarang a, b, c, f, g, dan h $\in A$. Jika a*b=a*c dan g*f=h*f akan diperlihatkan b=c dan g=h.

Karena A grup maka terdapat a' dan f' sedemikian hingga a'*a=a*a'=e dan f*f'=f'*f=e dimana e unsur identitas terhadap operasi *. Maka,

a*b=a*c
a'*(a*b)=a'(a*c)
(a'*a)*b=(a'*a)*c
e*b=e*c
b=c.

g*f=h*f
(g*f)*f'=(h*f)f'
g*(f*f')=h*(f*f')
g*e=h*e
g=h
(Terbukti)

Contoh-contoh:
¤ Himpunan bilangan asli dengan operasi perkalian memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan sekaligus karena pada himpunan tersebut dengan operasi perkalian berlaku sifat komutatif.

¤ Karena (Z, +) adalah grup maka berlaku hukum pencoretan kiri dan kanan.

Latihan: Coba perlihatkan apakah himpunan matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks memenuhi atau tidak memenuhi hukum pencoretan kiri dan hukum pencoretan kenan.

Cara Membuktikan Suatu Himpunan Beserta Operasinya adalah Grup

Suatu himpunan misalnya (himpunan G) dengan suatu operasi (misalnya operasi bintang (*) yang didefinisikan pada himpunan G) adalah Grup (atau dengan kata lain (G,*) membentuk grup) jika (G,*) memenuhi empat sifat berikut ini.

1) Tertutup
2) Asosiatif
3) Identitas
4) Invers

Untuk mengingat ke empat sifat ini, Anda bisa memberi singkatannya secara berurutan, misalnya TERAS IDENVERS.

Pada pemabahasan sebelumnya, telah dijelaskan secara khusus bagaimana cara Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya yang didefinisikan pada himpunan tersebut bahwa untuk setiap a dan b aggota di G harus berlaku a*b anggota di G juga. Selanjutnya, untuk membuktikan apakah berlaku sifat asosiatif atau tidak, sangat sederhana untuk dilakukan yaitu cukup mengambil sebarang 3 anggota di dalam himpunan G misalnya a, b, dan c, kemudian diperlihatkan apakah (a*b)*c=a*(b*c). Jika memenuhi, dikatakan bahwa berlaku sifat asosiatif. Sebagai contoh, pada himpunan bilangan bulat berlaku sifat asosiatif penjumlahan yaitu (a+b)+c=a+(b+c), untuk a, b, c bilangan bulat.

Pada kesempatan ini, akan dibahas bagaimana membuktikan suatu himpunan bersama operasinya apakah memenuhi sifat identitas atau sifat invers karena kedua hal ini berkaitan. Kita tidak akan mengetahui invers tanpa mengetahui unsur identitasnya.

Membuktikan Sifat Identitas dari Suatu Himpunan Sesuai Operasinya

Untuk membuktikan sifat identitas, harus dapat menemukan suatu unsur dalam G (biasa disimbolkan dengan e) sehingga untuk semua g anggota dalam G jika dioperasikan dengan suatu operasi * dengan unsur e tersebut, berlaku g*e=e*g=g. Jadi, ingat bahwa e harus merupakan anggota himpunan G juga, g*e=g dan e*g=g.

Terdapat suatu kesulitan dalam hal menemukan unsur identitasnya ketika kita akan membuktikan sifat identitas. Oleh karena itu, dapat dilakukan dengan cara menduga suatu unsur identitas dalam G (misal f dimana f $ \in G $), kemudian mengujinya apakah untuk setiap g dalam G berlaku g*f=f*g=g, jika ia maka f disebut unsur identitas dalam G terhadap operasi *. Operasi bintang maksudnya adalah suatu operasi tertentu yang didefinisikan pada suatu himpunan G. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Misal Z himpunan bilangan bulat dan + adalah operasi penjumlahan yang biasa, kita tahu bahwa sebarang a bilangan bulat jika dijumlahkan dengan 0 yakni a+0 atau 0+a pasti menghasilkan a (a+0=0+a=a). Karena keberadaan 0 ini yang merupakan anggota himpunan bilangan bulat juga, maka kita katakan 0 adalah unsur identitas terhadap operasi penjumlahan biasa pada bilangan bulat. Jadi, kita katakan himpunan bilangan bulat dengan operasi + ditulis (Z,+) memenuhi sifat identitas. Begitu juga untuk operasi x biasa bahwa unsur identitas terhadap operasi x biasa adalah 1 karena untuk setiap a bilangan bulat berlaku ax1=1xa=a.

Himpunan bilangan real terhadap operasi + atau x juga memenuhi sifat identitas karena sebarang bilangan real ditambahkan dengan 0 atau dikalikan dengan 1 pasti menghasulkan bilangan real itu juga dan kita tahu 0 dan 1 merupakan anggota dalam himpunan bilangan real.

Intinya, kita harus mampu menduga unsur identitasnya (e $\in G $), kemudian menguji apakah untuk setiap g anggota G berlaku g*e=e*g=g.

Misalkan G={1, -1, i, -i}, tentukan apakah G memiliki unsur idenditas terhadap operasi perkalian biasa!

Dengan memperhatikan setiap anggota G, kita menduga bahwa unsur identitasnya terhadap operasi perkalian adalah 1 karena untuk setiap g $\in$ G berlaku gx1=1xg=g, yakni 1x1=1, (-1)x1=1x(-1)=-1, ix1=1xi=i, (-i)x1=1x(-i)=-i.

Untuk pembaca: Apakah, G juga memiliki unsur identitas terhadap operasi penjumlahan yang biasa?

Membuktikan Sifat Invers dari Suatu Himpunan Sesuai Operasinya

Selanjutnya akan dibahas bagaimana membuktikan sifat invers. Kita pahami dulu apa yang dimaksud dengan invers. Kita telah mengetahui bahwa inversnya 2 terhadap operasi penjumlahan adalah -2, karena 2+(-2)=(-2)+2=0 sedangkan inversnya 2 terhadap operasi perkalian adalah 1/2 karena 2 x 1/2=1/2 x 2=1. Jadi tergantung operasinya apa dan identitasnya. Oleh karena itu untuk membuktikan sifat invers untuk suatu (G,*) dilakukan dengan cara:

" Mengambil sebarang anggota g dalam himpunan G, kemudian menentukan invers dari g yang dimisalkan dengan g', g' juga harus merupakan anggota G sehingga g*g'=g'*g=e. Artinya, untuk setiap g anggota G terdapat g' sehingga g*g'=g'*g=e. "

Perhatikan contoh berikut ini!

Misal G adalah himpunan bilangan bulat atau G=Z. Pada bahasan sebelumnya di atas, unsur identitas G terhadap operasi penjumlahan adalah 0 (e=0). Pertanyaan yang timbul sekarang, apakah (G,+) memenuhi sifat invers?

Ambil sebarang a $\in G$, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap a, terdapat a' $\in G$ sehingga a+a'=a'+a=0.

Perhatikan bahwa a+(-a)=0 dan (-a)+a=0, jadi a'=-a. Karena -a juga bilangan bulat maka -a merupakan anggota di G. Oleh karena itu, kita simpulkan (G,+) memenuhi sifat invers.

Untuk pembaca: Apakah himpunan bilangan bulat memenuhi sifat invers terhadap operasi perkalian?

Semoga bermanfaat.

Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya

Suatu himpunan misalnya (himpunan G) dengan suatu operasi (misalnya operasi bintang (*) yang didefinisikan pada himpunan G) adalah Grup (atau dengan kata lain (G,*) membentuk grup) jika memenuhi empat sifat berikut ini.

1) Tertutup
2) Asosiatif
3) Identitas
4) Invers

Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya

Untuk membuktikan sifat tertutup, harus dapat ditunjukkan bahwa semua anggota dalam himpunan G jika dioperasikan satu sama lainnya dengan operasi * maka menghasilkan anggota di himpunan G juga. Artinya bahwa, jika dua anggota sebarang dalam G dioperasikan dengan operasi * maka hasil operasinya juga merupakan anggota di G. Hal ini sulit dilakukan apabila banyaknya anggota di G tidak berhingga. Sehingga, apabila jumlah anggota di himpunan G tak berhingga maka cara membuktikan sifat tertutup adalah sebagai berikut.

Pertama-tama, ambil sebarang dua anggota dalam himpunan G (misalnya a dan b). Selanjutnya, operasikan dengan operasi * yakni a*b. Kita jalankan sampai kita mendapatkan hasil misalnya c sehingga c memenuhi syarat keanggotaan himpunan G, karena itu kita simpulkan bahwa a*b=c merupakan anggota G. Dengan demikian, (G,*) bersifat tertutup

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Misal Z himpunan bilangan bulat dan + adalah operasi + biasa, kita tahu bahwa sebarang a dan b bilangan bulat jika dijumlahkan yakni a+b pasti menghasilkan bilangan bulat juga sehingga kita katakan himpunan bilangan bulat dengan operasi + ditulis (Z,+) memenuhi sifat tertutup. Begitu juga untuk operasi x biasa.

Himpunan bilangan real terhadap operasi + atau x juga memenuhi sifat tertutup karena sebarang dua bilangan real ditambahkan atau dikalikan pasti bilangan real juga.

Pertanyaannya, apakah Q himpunan bilangan rasional, juga tertutup pada operasi + dan x? Sekarang mari kita lihat bagaimana caranya menunjukan sifat tertutup. Kita tahu bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b diamana a, b adalah bilangan bulat dan b#0. Jadi, himpunan bilangan rasional kita tuliskan dengan Q={a/b : b#0, a, b $ \in Z $}. Untuk membuktikan (Q,+) dan (Q,x) memenuhi sifat ketertutupan adalah:

"Ambil sebarang x, y anggota Q akan ditunjukan bahwa x+y dan x.y $\in Q$. Karena x dan y bilangan rasional maka masing-masing dapat dinyatakan dalam bentuk p/q dan r/s dimana p, q, r, s bilangan bulat dan q dan s tak nol. Perhatikan bahwa hasil dari p/q + r/s dan p/q x r/s juga merupakan bilangan rasional jadi kita simpulkan (Q,+) dan (Q, x) bersifat tertutup."

p/q + r/s=(ps+rq)/rs

p/q + r/s= pr/qs

Perhatikan bahwa ps+rq adalah bilangan bulat (berdasarkan contoh sebelumnya) dan rs tidak sama dengan 0 sehingga (ps+rq)/rs merupakan bilangan rasional. Begitu juga untuk pq/rs merupakan bilangan rasional.

Bagaimana sudah mengerti? Intinya, kita harus menunjukan bahwa untuk sebarang a, b anggota di G maka a*b juga anggota di G. Ingat bahwa operasi * merupakan operasi biner tertentu (operasi biner yaitu operasi yang memerukan dua buah unsur dalam suatu himpunan) yang didefinisikan untuk himpunan G, bisa operasi +, x, dll. Jadi, bisa yang lain dong? Iya, misal: a*b=a+b-2ab, sehingga untuk a=3 dan b=4 maka 3*4=3+4-2(3)(4)=7-24=-17.

Untuk pembaca: apakah operasi * yang didefinisikan oleh a*b=a+b-2ab tertutup pada himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, dan himpunan bilangan real?

Cara 2: Membuat Blog yang Memuaskan Pembaca

Setelah kita membuat blog berdasarkan Cara Buat Blog Gratis yang telah dibahas sebelumnya, selanjutnya kita fokus dulu menulis artikel secukupnya sebelum mengurus yang lainnya. Pada umumnya, blog dibuat untuk tujuan menyampaian sesuatu ke publik baik berupa informasi maupun pengetahuan. Inilah tujuan utama dibuatnya sebuah blog. Dengan keberadaannya yang berisi artikel dengan tema tertentu, sangat memudahkan seseorang untuk mencari informasi atau pengetahuan melalui internet. Sehingga, artikel yang dibuat harus mampu memberikan informasi yang bermanfaat. Beberapa aspek yang perlu diperhatikan dalam membuat blog yang memuaskan pembaca.

1. Kualitas Artikel Terjamin

Merupakan suatu keharusan bagi setiap penulis memperhatikan hal ini. Artikel yang berkualitas akan dapat membuat para pembaca puas dengan artikelnya. Sebuah artikel yang berkualitas menjamin isinya terhindar dari plagiat, sebisa mungkin menyertakan sumber kutipan baik yang diperoleh dari buku maupun dari sumber yang lain. Hindari membahas sesuatu yang kita tidak ahli dalam bidang itu sehingga isi artikel terhindar dari kadar subjektifitas penulis. Isi artikel harus benar dan terpercaya. Jika tidak, pembaca tidak akan membaca artikel kita di internet karena tidak dipercayai. Selain itu, artikel juga harus memudahkan pembaca dalam memahami isinya serta selengkap mungkin dalam membahasnya sesuai dengan judul artikel agar pembaca tidak perlu lagi mencari artikel dengan judul yang sama pada blog lainnya. Jika kita mampu menulis artikel sehingga pembaca tidak perlu lagi mencari artikel dengan judul yang sama, artinya pasti kita sudah memuaskan pembaca.

2. Memudahkan Pembaca Mengakses Blog

Walaupun artikel kita berkualitas, tidak akan memuaskan pembaca apabila blog kita sulit untuk diakses. Sehingga, pembaca yang baru saja mengklik link judul artikel, tetapi karena lambat maka ia memilih kembali atau batal untuk membacanya. Kesulitan itu misalnya diakibatkan karena blog terlalu berat untuk diakses sehingga lambat loading atau kebanyakan berisi gambar dan iklan. Blog yang seperti ini tidak akan disukai oleh pembaca. Blog yang dapat memuaskan pembaca adalah ringan, jelas tata letaknya sehingga pembaca dapat mengenali bagian-bagian yang ada pada blog tersebut agar memudahkan mengotak atik artikel yang ada pada blog tersebut, misalnya, membuat daftar isi artikel berdasarkan label tertentu. Jika perlu tampilan blog harus responsive untuk semua perangkat penjelajah internet (browser). Jadi jika blognya ringan namun tatap keren tampilannya, tata letaknya tertata dengan baik, dan dapat diakses semua perangkat maka kita sudah dapat memuaskan pembaca.

3. Memperbanyak Artikel yang Berkualitas

Setelah mampu menulis artikel yang berkualitas dan mendesain blog yang mudah diakses untuk semua perangkat, maka hal terakhir yang dilakukan adalah memperbanyak artikel yang berkualitas. Periksalah kembali setiap artikel, buang artikel yang tidak berhubungan dengan tema blog dan kurang berkualitas atau jika tidak, lakukan pengeditan setiap saat untuk meningkatkan kualitas tulisan, dan usahakan setiap artikel saling terhubung dengan sebuah link internal untuk artikel yang saling terkait. Misalnya, menyertakan artikel yang berkaitan dengan label yang sama sehingga di setiap kali pembaca membaca sebuah judul artikel, ia disuguhkan lagi judul artikel yang terkait yang mungkin menarik pembaca untuk membacanya.

Ke tiga hal di atas, tidak akan tercapai apabila penulis blog tidak memiliki kemampuan menulis yang baik sesuai dengan kaidah penulisan yang baku. Sehingga disarankan bagi penulis blog untuk melatih kemampuan menyajikan tulisan dalam suatu karangan. Seorang penulis harus mampu membuat kalimat yang baik dan benar, serta mampu menyusun paragraf yang utuh dan saling berkaitan antara satu paragraf dengan paragraf yang lain dalam satu karangan agar informasi atau pengetahuan yang ingin disampaikan dapat tercapai. Selain itu, hal yang harus dimiliki penulis adalah kemampuan dalam mengelolah blog. Misalnya, mengetahui pengeditan blog menggunakan bahasa HTML, php, dan sebagainya. Untuk itu, seorang penulis harus lebih banyak membaca dan berlatih daripada pembaca.

Akhiru kalam, semoga pembahasan tentang Cara Membuat Blog yang Memuaskan Pembaca dapat bermanfaat bagi kita semua.

Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi

Tidak sedikit mahasiswa yang tidak memahami konsep fungsi. Akibatnya, ia gagal faham dan kesulitan dalam memahami konsep kalkulus. Semua bahasan dalam kalkulus tidak terlepas dari yang namanya fungsi, yakni limit fungsi, turunan fungsi, dan integral fungsi baik fungsi aljabar maupun fungsi transenden. Fungsi yang dibicarakan adalah fungsi real yaitu fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real.

Fokus dalam memahami konsep kalkulus adalah fokus dalam pembelajaran kalkulus. Ridgon dalam pengantar buku kalkulus mengatakan bahwa fokus buku kalkulus tersebut ditulis adalah fokus pada pemahaman konsep kalkulus. Sehingga, penting memahami konsep dari fungsi yang merupakan materi pra-syarat mempelajari kalkulus. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan fungsi? Ketika merekontruksi rumus integral rienman yang digunakan adalah konsep fungsi untuk menentukan luas daerah di bawah kurva. Sangat penting menguasai dasar-dasar sebelum masuk pada matakuliah kalkulus bukan? Untuk itu, marilah mencermati masalah berikut ini yang merupakan sebuah masalah dalam kehidupan sehari-hari yang semoga dapat memudahkan kita untuk memahami konsep fungsi.

Misalkan A himpunan usaha yaitu A={$w_1, w_2, ..., w_n$} dan B={sukses, gagal}. Adakah hubungan antara himpunan A ke himpunan B? Suatu usaha hanya memiliki dua kemungkinan hasil yaitu sukses atau gagal. Hasil yang dicapai merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Karena setiap usaha yang dilakukan hanya ada satu hasil, sukses ataukah gagal (tidak mungkin keduanya), maka relasi "hasil yang dicapai" dari himpunan A ke B merupakan suatu fungsi, mengapa? Untuk menjawabnya , berikut ini diberikan pengertian fungsi.

Pengertian Fungsi

Fungsi adalah suatu relasi yang memetakan untuk setiap himpunan X hanya sekali ke himpunan Y. Pemetaan itu disajikan dengan lambang sebagai berikut.

$f: X \rightarrow Y$

Himpunan X disebut daerah asal fungsi atau domain f (dom f) dan Y disebut daerah kawan atau daerah hasil fungsi atau kodomain (kod f). Jika $x \in X $, maka $y \in Y$ yang berelasi dengan elemen x disebut bayangan (atau peta) dari x oleh f, atau nilai dari fungsi f di x dan dilambangkan dengan y=f(x). Jadi jika b adalah bayangan a oleh f ditulis b=f(a) atau dengan kata lain nilai dari fungsi f di a adalah f(a)=b. Adapaun range (daerah hasil) dari f adalah himpunan bagian dari himpunan Y yang merupakan bayangan dari setiap anggota di himpuana X oleh f. Jadi dapat dituliskan dengan, rangge (f)={$ y \in Y$ : $y=f(x) \forall x \in X$}. Dalam istilah lain, $x \in X$ disebut variabel bebas dan $y \in Y$ disebut variabel tak bebas.

Definisi Fungsi Formal

Misalnya $f: X \rightarrow Y$, f adalah fungsi jika dan hanya jika $\forall x_1, x_2 \in X$, $x_1=x_2 \Rightarrow f(x_1)=f(x_2)$.

Definisi ini sama artinya dengan definisi yang diberikan sebelumnya. Definisi ini digunakan untuk mengecek apakah suatu relasi adalah suatu fungsi. Sangat dianjurkan untuk menghapal dan memahaminya karena banyak digunakan nantinya.

Notasi Fungsi

Untuk memberikan nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F). Oleh karena itu, f(x) dibaca "f dari x" atau "f pada x" menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika $f(x)=x^3-4$ maka $f(1)=1^3 -4=-3$.

Setelah memahami apa itu fungsi diharapkan kita dapat mengklasifikasi apa-apa saja yang termasuk fungsi dari berbagai relasi antara dua himpunan baik dalam pembelajaran matematika maupun di luar pembelajaran matematika, misalkan di dalam kehidupan sehari-hari seperti contoh sebelumnya di atas.

Untuk memhami konsep fungsi kalian tentu harus memahami konsep relasi antara dua himpunan dan konsep himpunan itu sendiri. Untuk memahami kesemua ini, kita harus benar-benar menguasai konsep logika matematika. Inilah yang belakangan ini disebut landasan matematika yaitu logika matematika, himpunan, relasi, dan fungsi.

Demikian tulisan ini, semoga bermanfaat.

Desimal, Kalkulator, dan Penaksiran

Kita telah membahas bilangan real adalah objek dari kalkulus. Tentu memahami refresentasi bilangan real akan mencerahkan dalam kuliah kalkulus kita. Kali ini kita akan membahas desimal, kalkulator, dan penaksiran.

Bilangan Desimal.

Sebarang bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Karena hasil bagi dua bilangan bulat akan diperoleh suatu desimal. Misalnya, 3/8=0,375. Bilangan-bilangan tak-rasional ternyata dapat juga dinyatakan dalam bentuk desimal. Contohnya adalah akar 2=1,4142135623... . Apakah yang membedakan dari keduanya?

Bilangan Rasional atau Tak-Rasional?

Apabila bilangan desimal itu berakhir maka pasti ia bilangan rasional. Contohnya 0,375 yang merupakan hasil dari 8 dibagi 3. Namun, apabila bentuk desimalnya tak berakhir maka ada dua kasus yang harus diperhatikan, yaitu apakah ia berulang atau tak berulang.

0,375 sebenarnya dapat dinyatakan sebagai desimal berulang yakni 0,375000... . Jadi, setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal berulang. Pertanyaannya, apakah setiap bilangan desimal berulang adalah bilangan rasional? Jawabannya ialah benar. Perhatikanlah contoh berikut ini!

Tunjukkan bahwa x=0,136136... merupakan bilangan rasional!

Peny: Kita kurangkan x dari 1000x kemudian selesaikan untuk x diperoleh:
(1000x-x)=(136,136136...) - (0,136136...)
<=> 999x=136
<=> x=136/999 (Terbukti)

Adapun bilangan tak-rasional merupakan anti dari bilangan rasional sehingga bilangan yang tak berulang bukan merupakan bilangan rasional. Contohnya 0,101001000100001... bukan merupakan bilangan rasional karena tidak berulang menurut suatu daur yang tetap seperti pada 0,136136136... . Sudah jelaskan perbedaannya?

Kalkulator dan Penaksiran

Kalkulator sangat penting dimiliki dalam kuliah kalkulus. Yakinkan untuk memperoleh model ilmiah (dengan sinus, kosinus, dan logaritma). Jika mampu, kami rekomendasikan versi grafik karena akan banyak dijumpai penggunaan kalkulator dalam penyelesaian soal-soal kalkulus. Lakukan perhitungan yang mudah tanpa memakai kalkulator, khususnya jika dapat menghasilkan jawaban yang sebenarnya. Namun, dalam perhitungan yang rumit dianjurkan penggunaan kalkulator tetapi dengan cara yang benar.

Dalam menghadapi suatu soal hitungan yang rumit, mahasiswa yang ceroboh akan dengan gembira menekan sedikit tombol kalkulator dan melaporkan jawaban, tanpa menyadari bahwa tanda kurung yang hilang atau jari yang terlewat telah merusak jawaban secara total. Mahasiswa yang teliti dengan kepekaan bilangan akan menekan tombol-tombol yang sama, segera mengenali jawaban menyimpang (terlalu besar atau terlalu kecil) dan menghitung ulang secara benar. Sehingga, penting untuk mengetahui bagaimana membuat taksiran dalam hati untuk mengetahui jawaban yang diharapkan.

Teorema-Teorema Grup

Setelah memahami Definisi Grup dan Cara Membuktikan Suatu Himpunan Beserta Operasinya adalah Grup atau tidak, sekarang marilah perhatikan teorema-teorema berikut.

Teorema 1
Jika (G,*) adalah suatu Grup maka berlaku :

i) $(a^{-1})^{-1}=a$ untuk setiap $a \in G$

ii) $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$ untuk setiap $a, b \in G$

Sebelum kita buktikan, pahami dululah maksudnya. Contoh Misal kita punya himpunan bilangan bulat (Z) anggotanya { . . . , -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, . . .} telah dibuktikan pada tulisan sebelumnya bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa (+) membentuk grup kita tulis aja (Z,+) . Sekarang karena (Z,+) grup maka berdasarkan Teorema 1 pasti sebarang anggota a di Z berlaku $(a^{-1})^{-1}=a$. Contoh a=3 invers penjumlahan dari a=3 adalah $a^{-1}=-3$ sekarang kita lihat bahwa $(a^{-1})^{-1}=3$ karena invers penjumlahan dari -3 adalah 3.

Untuk yang bagian ii) kita coba misal a=3 dan b=4 maka $(a+b)^{-1}=-b+(-a)=-4+(-3)=-7$. Ternyata benar ya invers penjumlahan dari (3+4) adalah -7.

Catatan: $a^{-1}=-a$ karena operasi yang kita gunakan adalah operasi + biasa. Kalau operasi yang kita gunakan adalah perkalian biasa (x) maka $a^{-1}=1/a$. Kalau belum faham, fahami definisi grup dulu hehe.

Bukti Teorema 1

i) Karena (G, *) Grup maka perhatikan: $(a^{-1})^{-1}*a^{-1}=e$ dan pada sisi lainnya $a*a^{-1}=e$, dari sini kita simpulkan $(a^{-1})^{-1}=a$.

ii Karena (G,*) grup maka:
1) $(a*b)^{-1}*(a*b)=e$ dan
2) $(b^{-1}*a^{-1})*(a*b)=b^{-1}*(a^{-1}*a)*b$

$=b^{-1}*e*b=(b^{-1}*e)*b=b^{-1}*b=e$. 
Jadi berdasarkan 1) dan 2) $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$

Pada tulisan selanjutkan akan kita bahas hukum pencoretan kiri/kanan dan ketunggalan solusi. Ditungguh ya hehe

Urutan dan Sifat-Sifat/Aksioma Urutan dalam Bilangan Real

Urutan dalam bilangan real menyatakan suatu relasi ketaksamaan bilangan real lebih besar dari $( > )$ atau kurang dari $( < )$. Pada sistem garis bilangan real semakin ke kanan semakin besar dan semakin ke kiri semakin kecil. Contoh 0 < 0,5 < 1 artinya dalam garis bilangan real 1 berada di sebelah kanan 0,5 dan 0 berada disebelah kiri 0,5.

Beberapa sifat atau aksioma urutan yang harus diketahui untuk mempelajari kalkulus adalah:

1) Sifat Trikotomi

Menyatakan jika x dan y adalah bilangan-bilangan real, maka ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi (tidak sekaligus) yaitu x < y atau x=y atau x > y.

2) Ketransisitifan

Menyatakan jika x < y dan y < z mengakibatkan $x < z$

3) Penambahan

Menyatakan jika x < y dan z sebarang bilangan real maka $x+z < y+z$

4) Perkalian

Menyatakan jika x < y dan z bilangan real positif maka $xz < yz$ dan jika z bilangan real negatif maka $xz > yz$

Bukti Keilmiahan Al-Qur'an

Bukti Keilmiahan Al-Qur'an

Bismillah. Al-Qur'an adalah buku pedoman umat manusia hingga akhir zaman. Bagi buku apa saja yang mengaku sebagai kitab yang turun dari sisi Tuhan harus teruji oleh zaman. Zaman sekarang adalah zaman ilmu pengetahuan jika kita mengambil sebarang FAKTA sains modern kemudian dipertentangkan atau disesuaikan, maka tidak ada satu pun ayat dalam Al-Qur'an yang bertentangan atau tidak sesuai.

Dalam buku-buku yang ditulis manusia berupa karya ilmiah atau apa pun, kita akan dapati dalam kata pengantarnya menyatakan bahwa "buku ini masih banyak kekurangan atau jika terdapat kekurangan akan diperbaiki kedepannya". Akan tetapi, dalam permulaan ayat Al-Qur'an setelah surat pembukaan (Al-Fatiha) Q.S. Albaqarah: 2 dengan TEGAS mengatakan:

"Dzalikal kitaabu Laa roiba fiihi hudalilmuttaqiin" (Inilah kitab/buku "Al-Qur'an" yang tidak ada KERAGUAN di dalamnya, petunjuk bagi mereka yang bertaqwa"

Ia (Al-Qur'an) dengan bangga mengatakan tidak ada keraguan. Semuanya benar! Di ayat lain ia mengatakan jikalau al-Qur'an ini bukan datang dari sisi Tuhan maka kita akan mendapati banyak pertentangan di dalammnya. Al-Qur'an juga telah menantang manusia dan jin jika sanggup membuat satu surat saja yang semisal dengan Al-Qur'an dan dengan TEGAS pula mengatakan kalian tidak akan bisa.

Dan Alhamdulillah kita belum mendapati buku mana pun di dunia yang semisal dengan Al-Qur'an atau berisi pertentangan-pertentangan ayat dalam Al-Qur'an. Sudah banyak yang mencoba melakukannya bahkan oleh orang yang pandai bahasa Arab dan ternyata tidak bisa.

Sekarang mari kita melihat beberapa ayat yang berbicara sains dalam Al-Qur'an:

1) Oksigen (Q.S. Al-An'am: 125)

Kerapatan udara berkurang secara vertikal hingga mencapai tekanan terendah di lapisan yg paling tinggi dari atmosfer, ketika manusia mendaki menuju ketinggian, sistem pernapasan akan semakin sulit sebanding dgn kerapatan oksigen menurun 50% pada ketungguan 5.000 m dan hnya sekitar 30% pada ketinggian 9000 m diatas permukaan laut. Sebelum diketahui bahwa di luar angkasa tidak ada oksigen, belum ada yg perna melakukn perjalanan ke langit, 15 abad yg lalu Al-Qu'an menyatakan:

"... Dan barang siapa dikehendaki-Nya menjadi sesat, Dia jadikan dadanya sempit dan sesak, seakan-akan dia (sedang) mendaki ke langit..."

2) Lebah dan kahiatnya (Q.S. 16:68 - 69)

Ada orang Arab yg mengkritisi bahwa yg mencari makan seharusnya adalah lebah jantan jadi kata kerja yg cocok adalah kata kerja laki-laki bukan betina. Alhamdulillah terbukti bahwa yg mencari makan adalah lebah betina. Perhatikan nomor suratnya yaitu 16 adalah jumlah kromosom lebah betina sdgkn lebah jantan 32. Sekrg ini dikembgkn berbagai pengobatan dgn lebah.

3) Awal alam semesta (Q.S. 21:30)

4) Besi tidak berasal dari Bumi (Q.S Al-Hadid [57] : 25

Allah tegaskan dalam Q.S 57: 25
"...Dan Kami menurunkan besi yang mempunyai kekuatan yang hebat...". 

Subhanallah, kata anzalna yg artinya menurunkan juga dipakai dalam ayat Q.S Qadr ketika Allah menggatakan innaa anzalna=sesunggunya kami menurunkan. (yg diturunkan adalah para malaikat) atau kata pada ayat lain ketika Allah mengatakan menurunkan Al-Qur'an yg digunakan Anzalna. 
Artikel ini diambil dari Matematika Akhlak Copyright By Matematika Akhlak

Tiga Guru Matematika Paling Berpengaruh dalam Hidupku

Ku awali tulisan ini dengan mengucapkan bismillah hirrohman nirrohim. Tulisan yang akan menceritakan tiga guru yang paling berpengaruh dalam hidupku.

GURUKU PAHLAWANKU

Guru adalah suatu profesi yang bertugas untuk mengajari dan mendidik siswa. Mengajari ialah bagaimana siswa dapat mengetahui dan mendidik ialah bagaimana siswa dapat berakhlak baik. Dua hal inilah (mengajar dan mendidik) yang menjadi tugas seorang guru SD, SMP, dan SMA (atau sederajat).

Guru adalah pahlawan tanpa tanda jasa. Berkatnya banyak orang-orang yang hebat lahir dari tangan terampil seorang guru. Tidak akan menjadi seorang presiden, tentara, polisi, dokter dan lain-lain tanpa adanya seorang guru. Tidak akan ada perjuangan bangsa ini tanpa peran guru di dalamnya, bagi mereka tintanya adalah senjata dan ilmunya adalah peluruhnya. Mereka tak perna lelah berdiri di depan kelas, berbicara walau sakit, bernafas terengah-engah, rasa capek berubah menjadi senyum dan bahagia ketika melihat siswanya sedang belajar. Bagiku mereka adalah artis papan tulis yang mengandalkan papan dan alat tulisnya dengan berbagai gaya rupa-rupa (gaya mengajar hehe) serta menampilkan kualitas dan performance terbaiknya. Mereka ingin cepat-cepat bertemu dengan siswanya, bercerita tentang semua hal, pengetahuan, pengalaman, dan nasehat-nasehat bijak. Meski pun demikian, gaji yang sedikit atau pun tidak digaji bukan menjadi alasan untuk mogok atau tidak semangat mengajar karena bagi mereka mengajar adalah kesenangan, harapan, dan cita-cita untuk mencerdaskan anak bangsa. Begitu tinggi harapan seorang guru kepada kesuksesan siswanya walau harus melampaui kesuksesan gurunya, akan sangat bangga seorang gurunya melihat siswanya menjadi orang yang sukses dengan mengatakan "Itu loh si fulan/fulana, dia adalah anak didik saya loh...!" (mengatakan itu dengan sangat bangga dan percaya diri). Begitulah seharusnya guru sebagai pahlawan tanpa tanda jasa. (Walau pun kebanyakan guru-guru sekarang dicitrakan bukan lagi pahlawan tanpa tanda jasa tetapi pahlawan dengan jasa sertifikasi hehe)

Tiga Guru yang Paling Berpengaruh dalam Hidupku

Yang pertama guru SD saya. Namanya Cici Sanggoleo, beliau sekarang sudah menjadi kepala SDN 1 Unaasi tempat saya belajar dulu. Dialah yang mengajarkan saya pertama kalinya menulis, membaca, dan berhitung. Mengajari saya penjumlahan dan pengurangan bilangan satuan, puluhan, dan ratusan. Saya selalu dapat 100 dalam mata pelajaran matematika loh mungkin saya berbakat di matematika ya hehe. Sebenarnya tidak sih, bakat bukanlah yang utama, yang utama adalah kesenangan. Kalau senang insya Allah dapat menumbuhkan minat dan bakat untuk mempelajarinya. Singkat kata berkat beliaulah matematika saya khususnya aritmatika dasar terbentuk baik dalam memhami konsep bilangan maupun logika dalam perhitungan. Disinilah awal saya mengenal matematika sebagai ilmu berhitung hingga menamatkan sekolah dasar saya di SDN 1 Unaasi tersebut. Selanjutnya saya melanjutkan sekolah di SMPN 3 Unaaha, tetapi sekarang sudah ganti nama SMAN 1 Anggaberi. Apakah di sekolah yang baru tersebut dapat minat dan bakat yang baru ?

Yang kedua adalah guru matematika SMP saya, ibu guru yang paling cantik ibu Minarsi (hehe). Beliau adalah guru matematika saya di kelas VII. Bagi saya beliau adalah ibu guru penyumbang besar pengetahuan matematika saya di bidang Aljabar dan Geometri. Pada saat itu saya mulai mengenal matematika bukan hanya dalam hal berhitung. Ternyata matematika itu seperti ini ya. Aku tidak ada habis-habisnya dan bosan-bosannya menceritakan ibu yang satu ini kepada teman SMPku. Sampai saat ini belum ada ibu guru yang dapat membuat saya jatuh cinta kedua kalinya dengan matematika (oh betapa indahnya jatuh cinta itu hehe). Paling ingat kalau beliau lagi kesel, bahkan suara-suaranya masih terekam dalam memoriku. Keletihannya mengajari kami tidak perna ditampakkan, yang penting adalah kami bisa belajar matematika. Beliau paling rajin menulis di papan kemudian menjelaskannya dengan bahasa yang baik, aku masih ingat tulisannya (hehe) Beliaulah yang membuat minat dan bakat saya dimatematika mulai jelas. Meski pun demikian hampir saja saya mengabaikan matematika karena ada juga mata pelajaran bahasa inggris yang membuat saya senang belajar, dan juga IPA fisika dengan berbagai eksperimen dan rumus-rumusnya. Tetapi mereka tidak berhasil membuat saya jatuh cinta hanya ibu minarsi loh hehe.

Setelah aku SMA disinilah masa kegelapan dimulai. Tidak ada pengenalan baru matematika, aku hanya mengenal matematika itu sebagai aritmatika, aljabar, dan geometri. Aku mulai melupakan matematika, aku hanya berbekal ilmu yang telah ada waktu belajar di SD dan dan SMP saja. Aku seakan-akan disuruh belajar sendiri. Mereka hanya menikmati hasil dari guru-guruku sebelumnya. Kecewa banget gitu loh. (Masih banyak yang akan saya ceritakan tapi spasinya mulai habis, mungkin pada tulisan selanjutnya) hehe). Sekarang aku menemukan guru inspirasi selanjutnya siapakah dia ?

Pembuatan Stand Baliho Seminar Kesehatan By LSI

Pembuatan Stand Baliho Seminar Kesehatan By LSI
Alhamdulillah berkat kerja sama yang baik antara akhi Warno, Leonar, Tahar, dana ana akhirnya selesai juga deh buat baliho kegiatan Seminar Kesehatan dan tinggal tunggu pasangnya...Ehh lupa akhi Naim dan Abdul Rahmad ikut juga... Rencananya akan dipasang di dua tempat yaitu depan kampus Universitas Lakidende dan depan pertigaan rumah sakit kabupaten Konawe... Terlihat dalam foto sebelah kanan adalah saya dan sebelah kiri adalah akhi Taharudin, keren kan? Hehehe...

Kegiatan seminar ini akan dilaksanakan ahad, 29 November 2015 bertempat di aula Universitas Lakidende pagi hari.. Pemateri pertama adalah dokter ahli bedah profesional dari rumah sakit kabupaten Konawe, Unaaha dan pemateri kedua oleh Ustad Ambo Saka dosen UHO dan sebagai ustad dari WI, kebetulan LSI ini adalah lembaga dakwah kampus UNILAKI bentukan ormas Wahda Islamiah Konawe... Tema kegiatan seminar ini adalah "Indahnya Sehat, Nikmatnya Sakit"... Kenapa mengambil tema ini karena sebagian orang mengganggap bahwa sakit itu masalah besar dalam hidup ini, semua orang inginnya sehat, tapi ternyata sakit itu juga bisa jadi nikmat, kenapa bisa? Makanya hadiri seminarnya supaya tahu... Udah dulu cuman ini yang bisa saya sampaikan hehe semoga dakwah di kampus Universitas Lakidende semakin menunjukkan eksistensinya mengislamisasi kehidupan kampus... TerimahKasih mau berkunjung....

LANGKAH-LANGKAH PENULISAN PROPOSAL PENELITIAN

Kerangka Penulisan Proposal 

Pada dasarnya tidak ada format yang baku dalam penyusanan proposal penelitian karena untuk setiap universitas/instansi memiliki acuan tertentu dan mungkin berbeda dalam menentukan pedoman penyusunan proposal penelitian atau skripsi. Akan tetapi isi pokok dari proposal penelitian tersebut pada intinya membahas masalah penelitian dan metode yang digunakan untuk memecahkan masalah tersebut. Pada kesempatan ini hanya akan ditampilkan format penyusunan proposal penelitian kuantitaif yang tentunya pasti akan berbeda dengan proposal penelitian kualitaif dari segi isinya tetapi pokok pikirannya sama saja yaitu membahas masalah penelitiannya dan metode yang digunakannya.

Berikut adalah contoh Kerangka penulisan proposal penelitian kuantitatif yang mengandung bagian-bagian berikut ini: 

a. Bagian awal 

Bagian awal usulan penelitian terdiri atas: 
1) Halaman sampul depan 
2) Halaman sampul dalam 
3) Halaman pesetujuan 
4) Halaman daftar isi 
5) Halaman daftar tabel (jika ada) 
6) Halaman daftar gambar (jika ada) 
7) Halaman daftar lampiran 

b. Bagian Inti 

Bagian inti usulan penelitian memuat hal sebagai berikut: 
1) BAB 1 PENDAHULUAN 
  • a) Latar Belakang  
  • b) Identifikasi masalah 
  • c) Pembatasan masalah  
  • d) Rumusan Masalah  
  • e) Tujuan Penelitian  
  • f) Manfaat Penelitian 
2) BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 
  • a) Landasan teoritik/deskripsi teoritik  
  • b) Hasil-hasil penelitian yang relevan/terdahulu  
  • c) Kerangka Pemikiran  
  • d) Hipotesis Penelitian. 

3) BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 
  • a) Rancangan/Desain Penelitian/Metode Penelitian  
  • b) Waktu dan tempat penelitian  
  • c) Variabel-variabel yang diteliti  
  • d) Populasi dan Sampel Serta Teknik Pengambilan Sampel.  
  • e) Teknik pengumpulan data  
  • f) Teknik analisis data  
  • g) Hipotesis statistik 
 c. Bagian Akhir 

1) Daftar Pustaka 
2) Lampiran 

Penjelasan Bagian Awal

Secara berurutan bagian awal terdiri dari 8 komponen seperti tersebut di bawah ini :

Halaman sampul depan : Halaman ini memuat berturut-turut: Usulan Penelitian Skripsi, Judul, Lambang/logo Universitas , nama peserta program sarjana (S1), kalimat: “ Jurusan Ilmu sosial dan tahun proposal penelitian diujikan”. Halaman ini menggunakan kertas Buffalo atau Linnen warna abu-abu. 

Halaman sampul dalam: Halaman ini berisi materi yang sama dengan halaman sampul depan, tetapi menggunakan kertas putih sesuai dengan ketentuan Fakultas masing-masing. 

Halaman persetujuan: Halaman ini memuat nama lengkap dan tanda tangan para pembimbing I dan II 

Halaman penetapan panitia penguji : Halaman ini memuat tanggal, bulan tahun pelaksanaan, nama ketua dan anggota, penguji Skripsi. 

Halaman daftar isi: Daftar ini memuat semua bagian dalam usulan penelitian Skripsi termasuk urutan Bab, Sub Bab dan Anak Bab dengan nomor halamannya. 

Halaman daftar tabel : Daftar tabel memuat nomor urut tabel, judul tabel dan nomor halaman. 

Halaman daftar gambar : Daftar gambar memuat nomor urut gambar, judul gambar dan nomor halaman. 

Halaman daftar lampiran : Daftar lampiran memuat nomor uurut lampiran, judul lampiran dan nomor halamannya. 

Penjelasan Bagian Inti

BAB 1 PENDAHULUAN 

Latar Belakang.
Latar belakang berisi uraian tentang apa yang menjadi masalah penelitian, yang terkait dengan judul, serta alasan mengapa masalah itu penting dan perlu diteliti. Masalah tersebut harus didukung oleh fakta empiris (pemikiran induktif) sehingga jelas, memang ada masalah yang perlu diteliti. Juga harus ditunjukkan letak masalah yang akan diteliti dalam konteks teori (pemikiran deduktif) dengan permasalahan yang lebih luas, serta peranan penelitian tersebut dalam pemecahan permasalahan yang lebih luas. 

Rumusan Masalah.
Rumusan masalah adalah rumusan secara konkrit masalah yang ada, dalam bentuk pertanyaan penelitian yang dilandasi oleh pemikiran teoritis yang kebenarannya perlu di buktikan. 

Tujuan Penelitian.
Bagian ini mengemukakan tujuan yang ingin dicapai melalui proses penelitian. Tujuan penelitian harus jelas dapat diamati dan atau diukur. Biasanya merujuk pada hasil yang akan dicapai atau diperoleh dari maksud penelitian. 

Manfaat Penelitian.
Bagian ini berisi uraian tentang manfaat hasil penelitian bagi perkembangan ilmu pengetahuan, teknologi dan seni, (IPTEKS) serta pemerintah maupun masyarakat. 

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 

Bagian ini berisi 4 (empat) bagian utama yaitu: 

Landasan teoritik. Bagian landasan teoritik memuat tentang teori dasar yang relevan yang berasal dari pustaka mutakhir yang memuat teori, proposisi, konsep atau pendekatan terbaru yang ada hubungannya dengan penelitian yang dilakukan untuk mencegah replikasi. Teori yang digunakan seharusnya diambil dari sumber primer. Mencantumkan nama sumbernya. Tata cara penulisan kepustakaan harus sesuai dengan ketentuan pada panduan yang digunakan. 

Hasil-hasil penelitian terdahulu/Kajian Empirik. Bagian ini memuat tentang fakta-faktaa atau hasil kajian empirik yang relevan dengan judul/topik penelitian. Hasil-hasil penelitian terdahulu sangat berguna bagi calon peneliti, khususnya di dalam melihat tentang adanya celah penelitian atau riset gap yang bersumber dari jurnal penelitian, disertasi, tesis, skripsi, laporan penelitian, buku teks, makalah, laporan seminar dan diskusi ilmiah, terbitan-terbitan resmi pmerintah dan lembaga-lembaga lain. Bagian ini berisi tentang : nama peneliti/penulis, judul/topik, alat/metode analisis dan hasil penelitian tersebut. Perbedaan penelitian terdahulu dengan penelitian yang dilakukan. Pemilihan bahan pustaka yang akan dikaji didasarkan pada dua kriteria yakni: (1). Prinsip kemutaakhiran (kecuali untuk penelitian historis) dan (2). Prinsip relevansi. Prinsip kemutakhiran sangat penting karena ilmu berkembang dengan cepat. Dengan prisip kemutakhiran, peneliti dapat berargumentasi berdasarkan teori-teori yang pada waktu itu dipandang paling representatif. Hal serupa berlaku juga terhadap telaah laporan-laporan penelitian. Prinsip relevansi dipergunakan untuk menghasilkan kajian pustaka yang erat kaitannya dengan masalah yang diteliti. 

Kerangka Pemikiran. Kerangka berpikir penelitian disintesis, diabstraksi dan diekstrapolasi dari berbagai teori dan pemikiran ilmiah yang mencerminkan paradigma sekaligus tuntunan untuk memecahkan masalah penelitian dan merumuskan hipotesis. Kerangka pemikiran penelitian dapat berbentuk bagan, model matematik atau persamaan fungsional yang dilengkapi dengan uraian kualitatif. Kerangka pemikiran disusun berdasarkan latar belakang masalah, ditunjang oleh teori-teori yang ada dan bukti-bukti empirik dari haasil-hasil penelitian terdahulu, maupun jurnal-jurnal yang relevan dengan masalah yang diteliti, kemudian dirumuskan dalam suatu kerangka pemikiran. Jika memungkinkan disusun dalam satu model yang menggambarkan keterkaitan antar variabel, sehingga dapat dirumuskan suatu hipotesis. 

Hipotesis Penelitian. Hipotesis merupakan proposisi keilmuan yang dilandasi oleh kerangka berpikir penelitian dengan penalaran deduksi dan merupakan jawaban sementara secara teoritis terhadap permasalahan yang dihadapi yang dapat diuji kebenarannya berdasarkan berdasarkan fakta empirik. Hipotesis penelitian dirumuskan dengan mengacu pada kajian pustaka, penelitian terdahulu dan kerangka pemikirtan penelitian. Namun demikian, tidak semua penelitian memerlukan rumusan hipotesis penelitian. Penelitian yang bersifat eksploratoris (penjelasan) dan deskriptif (gambaran) tidak membutuhkan hipotesis. Oleh karena itu, subbab hipotesis penelitian tidak harus ada dalam skripsi. 

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

Metode Penelitian

Dalam bagian ini dijelaskan metode penelitian yang digunakan (misalnya, metode eksperimen) sesuai dengan masalahnya. Yang perlu dijelaskan adalah konsep motode yang digunakan itu, rancangan, dan variabelnya. Dalam kaitannya dengan variabel penelitian, peneliti perlu menjelaskan jenis variabel, definisi operasional variabel, dan hubungan antar variabel. 

Tempat dan Waktu Penelitian.

Dalam bagian ini dijelaskan tempat dan waktu penelitian. Ketika menjelaskan tempat penelitian, peneliti belum menyinggung subjek penelitian. Yang dijelaskan hanya tempatnya. Sementara itu, waktu penelitian mengacu pada rentang waktu yang digunakan untuk melaksanakan penelitian, dari perencanaan hingga pelaporan 

Populasi, Sampel, dan Sampling.

Ketika menjelaskan populasi penelitian seyogyanya peneliti menjelaskan karakteristik populasi tersebut berikut alasan pengambilan populasi
itu. Ketika menjelaskan sampel penelitian, peneliti perlu menjelaskan jumlah sampel, alasan pengambilan anggota sampel sejumlah itu, dan teknik pengambilan sampelnya (sampling). Apabila perlu, peneliti dapat menjelaskan prosedur pengambilan sampel untuk meyakinkan pembaca bahwa sampel yang diambil dari populasi benar-benar representatif. 

Teknik Pengambilan Data.

Sebelum menjelaskan teknik pengambilan data, seyogyanya peneliti menjelaskan jenis data dan ukuran-ukuran yang digunakan. Selanjutnya, penjelasan tentang teknik/instrumen pengambilan data hendaknya bersifat rinci/spesifik. Misalnya, apabila teknik pengambilan data berupa tes, maka perlu dijelaskan nama tes, jenis tes, cakupan tes, jumlah butir tes, dan bobot masing-masing butir tes. Ada baiknya apabila peneliti juga menjelaskan rancangan pengujian validitas dan reliabilitas instrumen meskipun hanya sekilas. 


Teknik Analisis Data.

Teknik analisis data ditentukan berdasarkan masalah dan metode penelitiannya. Apabila rumusan masalahnya lebih dari satu dan masing-masing memerlukan teknik analisis yang berbeda, maka hal itu perlu dijelaskan. Kiranya juga perlu disadari bahwa masing-masing teknik analisis data memerlukan persyaratan tertentu; dan oleh karena itu, peneliti perlumenjelaskan rancangan pengujian persyaratan analisis data, seperti normalitas data dan homogenitas varians populasi (sebelum peneliti membandingkan dua kelompok atau lebih). 

Hipotesis Statistik.

Dalam bagian ini dikemukakan hipotesis statistik, yaitu hipotesis yang siap diuji dilapangan, yang berisi hipotesis nol (Ho) dan hipotesis alternatif (H1). Bentuknya disesuaikan dengan rumusan masalahnya. 

Daftar Pustaka

Dalam bagian ini dituliskan seluruh referensi yang dijadikan acuan dalam penelitian dan yang disebut langsung dalam tubuh proposal. Rujukan yang tidak disebut tidak perlu ditulis.Penulisan daftar pustaka disesuaikan dengan aturan yang ada.

PENGERTIAN PROPOSAL PENELITIAN DAN SKRIPSI

Proposal penelitian adalah rancangan penelitian dari seorang mahasiswa yang akan mengadakan penulisan karya ilmiah berupa skripsi, tesis maupun disertasi. Proposal merupakan bukti kemampuan mahasiswa dalam pembuatan rancangan penelitian dan mengembangkan ilmu pada salah satu bidang ke ilmuan tertentu. proposal disusun untuk dilanjutkan membuat karya ilmiah berupa skripsi, tesis masupun disertasi. 

Skripsi adalah tulisan ilmiah berupa paparan hasil penelitian yang membahas tentang masalah dalam bidang ilmu tertentu, sesuai jurusan yang sedang ditempuh dengan menggunakan kaidah yang berlaku. Skripsi tersebut sebagai bukti kemampuan akademik mahasiswa yang berhubungan dengan penelitian dan pemecahan masalah-masalah. Hasil akhir dari skripsi harus didukung oleh fakta atau data empiris yang objektif. Skripsi ini ditulis untuk melengkapi syarat memperoleh gelar sarjana (S-1).

Tak Perlu Bukti Ilmiah untuk Percaya Bulan Perna Terbelah

Apakah Anda percaya BULAN perna terbelah? Bagaimana pendapatmu tentang orang yang tidak tahu baca tulis, ia berbicara fakta sains yang baru-baru terungakap oleh perkembangan sains yang maju saat ini? Ini bisa terjadi jika Muhammad,  Shallallahu 'Alaihi wa Sallam memiliki buku yang berbicara sains di abad ini. Apa itu?

Al-Qur'an.

Al-Qur'an bagi muslim adalah kitab manusia dari zaman ke zaman, ia ada sejak abad 7 tetapi berbicara banyak hal mengenai pengetahuan di abad sebelum Al-Qur'an itu ada dan berbicara pengetahuan di abad sekarang sebelum sains berkembang.

Ketika Al-Qur'an mengatakan tentang jazad firaun dan sekarang itu adalah fakta yang diketahui, dari mana Muhammad tahu padahal ia hidup di abad 7?

Sekarang marilah kita lihat Al-Qur'an yang teruji oleh zaman. Dahulu adalah zaman mukjizat, alhamdulillah Al-Qur'an adalah mukjizat di atas mukjizat. Setelah itu datang zaman sastra dan bahasa, Al-Qur'an diklaim oleh kaum intelektual muslim maupun non muslim sebagai karya sastra terbaik di dunia. Sekarang datang zaman ilmu pengetahuan, Albert Einstein perna berkata agama tanpa ilmu pengetahuan pincang, Al-Qur'an bukanlah kitab sains tetapi Al-Qur'an kitab tentang tanda-tanda (signs). Di dalam Al-Qur'an terdapat kurang lebih 1000 ayat yang berbicara mengenai Sains modern, dan jika kita mengambil fakta sains modern kemudaian dipertentangkan atau disesuaikan dengan ayat Al-Qur'an MAKA tidak ada satupun ayat dalam Al-Qur'an yang bertentangan atau tidak sesuai dengan FAKTA Ilmu pengetahuan moderen.

Terbelanya Bulan

Orang kafir Quraish menantang Rasulullah, Shallallahu 'Alaihi wa Sallam jika sanggup membelah bulan mereka akan beriman kepada Rasulullah, Shallallahu 'Alaihi wa Sallam. Lalu Rasulullah, saw melakukannya (membela bulan) dengan seiizin Allah dimana belahannya saling menjauh kemudian bersatu kembali. Orang yang menyaksikannya mengingkari dengan mengatakan itu adalah sihir, allahu'alam. Peristiwa ini Allah nyatakan dalam Q.S. Al-Qamar :

"Saat (Hari Kiamat) semakin dekat, bulan pun terbelah. Dan jika mereka (orang-orang musyrik) melihat tanda (mukjizat), mereka berpaling dan berkata, '(ini adalah) sihir yang terus menerus.' Dan mereka mendustakan (Muhammad) dan mengikuti keinginannya, padahal setiap urusan ada ketetapannya." (Q.S. Al-Qamar: 1-3)

Prof. L Keithmore mengatakan bahwa Al-Qur'an menjelaskan dengan begitu detail sistem embrio hingga menjadi manusia. Dahulu orang tidak mengetahui fungsi gunung itu, Al-Qur'an menyatakan gunung sebagai pencegah agar bumi tidak guncang dan ini adalah fakta. Al-Qur'an telah mengatakn bahwa bulan bercahaya dan matahari bersinar, ini adalah fakta karena bulan memantulkan cahaya sedangkan matahari memancarkan cahaya. Ketika Al-Qur'an berkata matahari berjalan ditempat edarnya ini adalah fakta yang baru diketahui.

Saya ulangi, tidak ada satu pun Fakta sains moderen yang bertentangan adengan Al-Qur'an. Apakah kamu tidak berakal?

Jadi kami (mukmin) mempercayai Al-Qur'an meskipun tanpa bukti ilmiah. Bagi kami kebenaran Al-Qur'an adalah mutlak.
Kami sudah mempercai bahwa bumi dan langit dahulunya padu, meskipun faktanya baru terungkap. 

Ada sekitar 80% ayat yg berbicara sains itu benar secra fakta ilmu pengetahuan. Sisanya 20% belum diferivikasi, mengapa? Karena sains belum begitu maju untuk mengetahuinya. Kalau 80 % saja sudah terbukti maka ini sudah mewakili, tak ada satu pun yang bertentangan. Secara statistik kita harus mengakui bahwa ayat Al-Qur'an valid ketika diuji dengan cara mempertentangkannya dengan fakta ilmu pengetahuan. Artikel ini diambil dari Matematika Akhlak Copyright By Matematika Akhlak

Sikap Rendah Hati Barisan Belajar dan Limit Ketidaktahuan

Tidak tahu secara matematika dapat diinterpretasikan sebagai barisan (a/n) yang konvergen ke 0 atau lim (a/n)=0 dengan n adalah waktu belajar serta a menyatakan bilangan konstanta kecerdasan masing-masing seseorang. Ini artinya bahwa semakin orang menuntut ilmu maka seharusnya ia akan semakin tahu tentang ketidaktahuannya. Sementra itu ketidaktahuan limit dengan kebodohan dan kebodohan limit dengan kemiskinan. Ini terjadi jika barisannya adalah (-a/n). Ia tidak perna belajar hingga waktu yang lama mengakibatkan limit dari barisan (-a/n) menuju ke limit kebodohan. Hal Ini bertolak belakang dengan limit ketidaktahuan. Jikalau limit ketidaktahuan semakin belajar semakin rendah hati maka sebaliknya limit kebodohan semakin ia tidak belajar semakin sombong.

Seperti pepatah mengatakan semakin berisi semakin merunduk, itulah padi. Ini diartikan sebagai semakin n waktu belajar menuju tak hingga maka semakin ia menyadari atas ketidaktahuannya (mendekati 0). Lebih lanjut jika ada orang yang bicara banyak tapi kosong bagaikan tong yang kosong nyaring bunyinya maka sama halnya dengan n waktu belajar lakukan sedikit dan terbatas. Padahal tidak ada batasan waktu dalam belajar, karena jika kita sudah mensupremumkan waktu belajar maka itu adalah sikap yang harus dihindari karena merasa diri sudah cukup sementara dalam batas atas masih ada s sehingga n < s, di atas langit masih ada langit. Maka dari itu hikmah yang bisa kita ambil dari pemaparan singkat ini adalah senantiasa kita harus selalu bersifat rendah hati terutama dalam menuntut ilmu. Semoga bermanfaat.

Jangan Salah Cinta

Ada dua hadist yang dapat menjadi rujukan agar kita tidak mengidolakan suatu kaum atau tidak salah mencintai seseorang. Mengidolakan club bola misalnya, fanatisme terhadap club bola yang dicintainya hingga ia rela berdesak-desakan antri beli tiket bahkan ada yang menemui ajalnya waktu menonton pertandingan club yang diidolakannya. Ada juga remaja-remaja muslim kita mengidolakan artis-artis yang tidak layak diidolakan dengan fanatiknya sampai-sampai histeris melihat sang idola, bahkan tidak jarang rela dipeluk oleh sang idolanya. Ironisnya mereka meniru cara berpakaiannya, menyukai apa yang disukainya, berperilaku seperti perilakunya sampai mencari tahu gosip-gosip dan perkembangan kehidupan mereka. 

Apakah tidak perna terbesit pertanyaan mengapa bukan Rasulullah, Shallallahu 'Alaihi wa Sallam, Abu Bakar, Usman, Ali, Khalid bin Walid, Abu Ubaidah yang diidolakan, bukankah mereka adalah generasi terbaik yang perna ada? Apakah kita tidak perna mau tahu sosok manusia paling mulia Rasulullah? Bagaimana kehidupannya, apa yang ia sukai dan apa yang ia benci?

Dengan mencintai mereka kita berharap bersama dengan mereka di syurganya Allah, meskipun amal kita tidak seperti mereka. 

Dalam suatu hadist 7 golongan yang akan dinaungi dimana tidak ada naungan selain naungan Allah diantaranya yaitu dua org yang saling mencintai karena Allah dan berpisah pun juga karena Allah. 

Ada juga hadist mengenai seorang pemudah yang bertanya tentang kapan datangnya hari kiamat? Lalu Rasulullah bersabda apa yang telah ia siapkan? Kata pemudah itu dia tidak banyak berpuasa, solat, dan zakat melainkan dia mencintai Allah dan rasul-Nya. Kemudaian Rasulullah kembali bersabda, engkau akan bersama dengan yang engkau cintai.

Dari Abu Hurairah r.a. dari Nabi saw, beliau bersabda: “ Ada tujuh kelompok yang akan mendapat naungan Allah pada hari yang tiada naungan kecuali naungan-Nya yaitu: Pemimpin yang adil, remaja yang senantiasa beribadah kepada Allah ta’alaa, seseorang yang senantiasa hatinya dipertautkan dengan masjid, dua orang yang saling cinta mencintai karena Allah dimana keduanya berkumpul dan berpisah karena-Nya, seorang laki-laki yang ketika dirayu oleh wanita bangsawan lagi rupawan, lalu menjawab: “sesungguhnya saya takut kepada Allah”, seseorang yang mengeluarkan shadakah kemudian ia merahasiakannya sampai-sampai tangan kiri tidak mengetahui apa yang diberikan oleh tangan kanannya, dan seseorang yang berdzikir kepada Allah di tempat yang sunyi kemudian kedua matanya meneteskan air mata”. (HR.Bukhari dan Muslim).

Dari Abdullah bin Mas'ud ia berkata, " seorg lelaki datang kepada Rasulullah dan bertanya, wahai Rasulullah bagaimana pendapatmu tentang orang yang mencintai suatu kaum namun dia belum bertemu dengan mereka, Rasulullah menjawab seseorang akan bersama dengan yang dicintainya. (HR Muslim)

Dari kedua hadist tersebut di atas hendaklah kita berhati-hati dalam mencintai seseorang. Jangan salah cinta, semoga menjadi nasehat untuk kita semua. Allahu'alam.

Proteksi Artikel

Advertisement

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design