Menjelaskan tentang suatu Fakta, Konsep, Prinsip, Prosedural dan Pemodelan dalam Matematika.

Teorema-Teorema Grup

Setelah memahami Definisi Grup dan Cara Membuktikan Suatu Himpunan Beserta Operasinya adalah Grup atau tidak, sekarang marilah perhatikan teorema-teorema berikut.

Teorema 1
Jika (G,*) adalah suatu Grup maka berlaku :

i) $(a^{-1})^{-1}=a$ untuk setiap $a \in G$

ii) $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$ untuk setiap $a, b \in G$

Sebelum kita buktikan, pahami dululah maksudnya. Contoh Misal kita punya himpunan bilangan bulat (Z) anggotanya { . . . , -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, . . .} telah dibuktikan pada tulisan sebelumnya bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa (+) membentuk grup kita tulis aja (Z,+) . Sekarang karena (Z,+) grup maka berdasarkan Teorema 1 pasti sebarang anggota a di Z berlaku $(a^{-1})^{-1}=a$. Contoh a=3 invers penjumlahan dari a=3 adalah $a^{-1}=-3$ sekarang kita lihat bahwa $(a^{-1})^{-1}=3$ karena invers penjumlahan dari -3 adalah 3.

Untuk yang bagian ii) kita coba misal a=3 dan b=4 maka $(a+b)^{-1}=-b+(-a)=-4+(-3)=-7$. Ternyata benar ya invers penjumlahan dari (3+4) adalah -7.

Catatan: $a^{-1}=-a$ karena operasi yang kita gunakan adalah operasi + biasa. Kalau operasi yang kita gunakan adalah perkalian biasa (x) maka $a^{-1}=1/a$. Kalau belum faham, fahami definisi grup dulu hehe.

Bukti Teorema 1

i) Karena (G, *) Grup maka perhatikan: $(a^{-1})^{-1}*a^{-1}=e$ dan pada sisi lainnya $a*a^{-1}=e$, dari sini kita simpulkan $(a^{-1})^{-1}=a$.

ii Karena (G,*) grup maka:
1) $(a*b)^{-1}*(a*b)=e$ dan
2) $(b^{-1}*a^{-1})*(a*b)=b^{-1}*(a^{-1}*a)*b$

$=b^{-1}*e*b=(b^{-1}*e)*b=b^{-1}*b=e$. 
Jadi berdasarkan 1) dan 2) $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$

Pada tulisan selanjutkan akan kita bahas hukum pencoretan kiri/kanan dan ketunggalan solusi. Ditungguh ya hehe
PESAN SPONSOR
Ingin jadi agen pulsa all operator dimana Anda juga bisa melayani pembayaran listrik baik prabayar maupun pascabayar? Klik link referal Admin di bawah untuk menuju ke form pendaftarannya, GRATS!
KLIK DAFTAR

Insya Allah, aman, mudah, dan terpercaya karena Admin sudah mencoba menjadi agen.
Toko Buku Online Belbuk.com

No comments:

Post a Comment

Berkomentarlah dengan santun, Trimakasih!

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design